Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123577 / 25287
↖ ↑ ↗
← N 73.473017°
E159.414368°		 ← 86.88 m → N 73.473017°
E159.417114°		 →
↑
86.84 m
↓
↑
86.84 m
↓
N 73.472236°
E159.414368°		 ← 86.89 m →
7 545 m²		 N 73.472236°
E159.417114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942821502685547 y=0.192928314208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942821502685547 × 217)
    floor (0.942821502685547 × 131072)
    floor (123577.5)     		tx = 123577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192928314208984 × 217)
    floor (0.192928314208984 × 131072)
    floor (25287.5)     		ty = 25287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123577 / 25287 ti = "17/123577/25287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123577/25287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123577 ÷ 217
    123577 ÷ 131072     		x = 0.942817687988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25287 ÷ 217
    25287 ÷ 131072     		y = 0.192924499511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.942817687988281 × 2 - 1) × π
    0.885635375976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.78230559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192924499511719 × 2 - 1) × π
    0.614151000976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.92941227280764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78230559} λ = 2.78230559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92941227280764))-π/2
    2×atan(6.88546227873571)-π/2
    2×1.42657119045935-π/2
    2.8531423809187-1.57079632675     		φ = 1.28234605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78230559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.414368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28234605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.473017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123577 KachelY 25287 2.78230559 1.28234605 159.414368 73.473017
    Oben rechts KachelX + 1 123578 KachelY 25287 2.78235353 1.28234605 159.417114 73.473017
    Unten links KachelX 123577 KachelY + 1 25288 2.78230559 1.28233242 159.414368 73.472236
    Unten rechts KachelX + 1 123578 KachelY + 1 25288 2.78235353 1.28233242 159.417114 73.472236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28234605-1.28233242) × R
    1.36299999999867e-05 × 6371000     		dl = 86.8367299999153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28234605-1.28233242) × R
    1.36299999999867e-05 × 6371000     		dr = 86.8367299999153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78230559-2.78235353) × cos(1.28234605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284466869551847 × 6371000     		do = 86.8835041382993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78230559-2.78235353) × cos(1.28233242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284479936413851 × 6371000     		du = 86.8874950942963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28234605)-sin(1.28233242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284466869551847-0.284479936413851)×R²
    abs(2.78235353-2.78230559)×1.30668620038632e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30668620038632e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30668620038632e-05×40589641000000     		ar = 7544.85267106652m²