Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123577 / 25285
↖ ↑ ↗
← N 73.474580°
E159.414368°		 ← 86.88 m → N 73.474580°
E159.417114°		 →
↑
86.90 m
↓
↑
86.90 m
↓
N 73.473798°
E159.414368°		 ← 86.88 m →
7 550 m²		 N 73.473798°
E159.417114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942821502685547 y=0.192913055419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942821502685547 × 217)
    floor (0.942821502685547 × 131072)
    floor (123577.5)     		tx = 123577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192913055419922 × 217)
    floor (0.192913055419922 × 131072)
    floor (25285.5)     		ty = 25285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123577 / 25285 ti = "17/123577/25285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123577/25285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123577 ÷ 217
    123577 ÷ 131072     		x = 0.942817687988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25285 ÷ 217
    25285 ÷ 131072     		y = 0.192909240722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.942817687988281 × 2 - 1) × π
    0.885635375976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.78230559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192909240722656 × 2 - 1) × π
    0.614181518554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.92950814660688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78230559} λ = 2.78230559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92950814660688))-π/2
    2×atan(6.88612244580976)-π/2
    2×1.42658482629227-π/2
    2.85316965258453-1.57079632675     		φ = 1.28237333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78230559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.414368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28237333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.474580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123577 KachelY 25285 2.78230559 1.28237333 159.414368 73.474580
    Oben rechts KachelX + 1 123578 KachelY 25285 2.78235353 1.28237333 159.417114 73.474580
    Unten links KachelX 123577 KachelY + 1 25286 2.78230559 1.28235969 159.414368 73.473798
    Unten rechts KachelX + 1 123578 KachelY + 1 25286 2.78235353 1.28235969 159.417114 73.473798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28237333-1.28235969) × R
    1.36399999999259e-05 × 6371000     		dl = 86.9004399995281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28237333-1.28235969) × R
    1.36399999999259e-05 × 6371000     		dr = 86.9004399995281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78230559-2.78235353) × cos(1.28237333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284440716495427 × 6371000     		do = 86.875516321689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78230559-2.78235353) × cos(1.28235969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284453793050098 × 6371000     		du = 86.8795102380761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28237333)-sin(1.28235969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284440716495427-0.284453793050098)×R²
    abs(2.78235353-2.78230559)×1.30765546711986e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30765546711986e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30765546711986e-05×40589641000000     		ar = 7549.69413025725m²