Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123574 / 25278
↖ ↑ ↗
← N 73.480047°
E159.406128°		 ← 86.85 m → N 73.480047°
E159.408875°		 →
↑
86.84 m
↓
↑
86.84 m
↓
N 73.479266°
E159.406128°		 ← 86.85 m →
7 542 m²		 N 73.479266°
E159.408875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942798614501953 y=0.192859649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942798614501953 × 217)
    floor (0.942798614501953 × 131072)
    floor (123574.5)     		tx = 123574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192859649658203 × 217)
    floor (0.192859649658203 × 131072)
    floor (25278.5)     		ty = 25278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123574 / 25278 ti = "17/123574/25278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123574/25278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123574 ÷ 217
    123574 ÷ 131072     		x = 0.942794799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25278 ÷ 217
    25278 ÷ 131072     		y = 0.192855834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.942794799804688 × 2 - 1) × π
    0.885589599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78216178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192855834960938 × 2 - 1) × π
    0.614288330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92984370490422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78216178} λ = 2.78216178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92984370490422))-π/2
    2×atan(6.88843352906285)-π/2
    2×1.42663254183873-π/2
    2.85326508367746-1.57079632675     		φ = 1.28246876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78216178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.406128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28246876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.480047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123574 KachelY 25278 2.78216178 1.28246876 159.406128 73.480047
    Oben rechts KachelX + 1 123575 KachelY 25278 2.78220972 1.28246876 159.408875 73.480047
    Unten links KachelX 123574 KachelY + 1 25279 2.78216178 1.28245513 159.406128 73.479266
    Unten rechts KachelX + 1 123575 KachelY + 1 25279 2.78220972 1.28245513 159.408875 73.479266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28246876-1.28245513) × R
    1.36299999999867e-05 × 6371000     		dl = 86.8367299999153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28246876-1.28245513) × R
    1.36299999999867e-05 × 6371000     		dr = 86.8367299999153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78216178-2.78220972) × cos(1.28246876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284349227067141 × 6371000     		do = 86.8475730953527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78216178-2.78220972) × cos(1.28245513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284362294404839 × 6371000     		du = 86.8515641966388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28246876)-sin(1.28245513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284349227067141-0.284362294404839)×R²
    abs(2.78220972-2.78216178)×1.30673376977919e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30673376977919e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30673376977919e-05×40589641000000     		ar = 7541.73254335181m²