Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123552 / 26272
↖ ↑ ↗
← N 72.685765°
E159.345703°		 ← 90.90 m → N 72.685765°
E159.348450°		 →
↑
90.91 m
↓
↑
90.91 m
↓
N 72.684947°
E159.345703°		 ← 90.90 m →
8 264 m²		 N 72.684947°
E159.348450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942630767822266 y=0.200443267822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942630767822266 × 217)
    floor (0.942630767822266 × 131072)
    floor (123552.5)     		tx = 123552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200443267822266 × 217)
    floor (0.200443267822266 × 131072)
    floor (26272.5)     		ty = 26272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123552 / 26272 ti = "17/123552/26272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123552/26272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123552 ÷ 217
    123552 ÷ 131072     		x = 0.942626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26272 ÷ 217
    26272 ÷ 131072     		y = 0.200439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.942626953125 × 2 - 1) × π
    0.88525390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78110717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200439453125 × 2 - 1) × π
    0.59912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.88219442668188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78110717} λ = 2.78110717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88219442668188))-π/2
    2×atan(6.56790183889812)-π/2
    2×1.41970112217137-π/2
    2.83940224434273-1.57079632675     		φ = 1.26860592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78110717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26860592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.685765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123552 KachelY 26272 2.78110717 1.26860592 159.345703 72.685765
    Oben rechts KachelX + 1 123553 KachelY 26272 2.78115511 1.26860592 159.348450 72.685765
    Unten links KachelX 123552 KachelY + 1 26273 2.78110717 1.26859165 159.345703 72.684947
    Unten rechts KachelX + 1 123553 KachelY + 1 26273 2.78115511 1.26859165 159.348450 72.684947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26860592-1.26859165) × R
    1.42699999998719e-05 × 6371000     		dl = 90.9141699991838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26860592-1.26859165) × R
    1.42699999998719e-05 × 6371000     		dr = 90.9141699991838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78110717-2.78115511) × cos(1.26860592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297612071589966 × 6371000     		do = 90.8983871982387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78110717-2.78115511) × cos(1.26859165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297625694941561 × 6371000     		du = 90.9025481204808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26860592)-sin(1.26859165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297612071589966-0.297625694941561)×R²
    abs(2.78115511-2.78110717)×1.36233515947715e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36233515947715e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36233515947715e-05×40589641000000     		ar = 8264.14056981215m²