Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12355 / 15171
↖ ↑ ↗
← N 13.207860°
W 44.263916°		 ← 1 189.26 m → N 13.207860°
W 44.252930°		 →
↑
1 189.34 m
↓
↑
1 189.34 m
↓
N 13.197164°
W 44.263916°		 ← 1 189.31 m →
1 414 466 m²		 N 13.197164°
W 44.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377059936523438 y=0.462997436523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377059936523438 × 215)
    floor (0.377059936523438 × 32768)
    floor (12355.5)     		tx = 12355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462997436523438 × 215)
    floor (0.462997436523438 × 32768)
    floor (15171.5)     		ty = 15171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12355 / 15171 ti = "15/12355/15171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12355/15171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12355 ÷ 215
    12355 ÷ 32768     		x = 0.377044677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15171 ÷ 215
    15171 ÷ 32768     		y = 0.462982177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377044677734375 × 2 - 1) × π
    -0.24591064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77255107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462982177734375 × 2 - 1) × π
    0.07403564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.232589836956512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77255107} λ = -0.77255107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.232589836956512))-π/2
    2×atan(1.26186380327071)-π/2
    2×0.900658489571551-π/2
    1.8013169791431-1.57079632675     		φ = 0.23052065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77255107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.263916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23052065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.207860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12355 KachelY 15171 -0.77255107 0.23052065 -44.263916 13.207860
    Oben rechts KachelX + 1 12356 KachelY 15171 -0.77235933 0.23052065 -44.252930 13.207860
    Unten links KachelX 12355 KachelY + 1 15172 -0.77255107 0.23033397 -44.263916 13.197164
    Unten rechts KachelX + 1 12356 KachelY + 1 15172 -0.77235933 0.23033397 -44.252930 13.197164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23052065-0.23033397) × R
    0.000186679999999995 × 6371000     		dl = 1189.33827999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23052065-0.23033397) × R
    0.000186679999999995 × 6371000     		dr = 1189.33827999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77255107--0.77235933) × cos(0.23052065) × R
    0.000191739999999996 × 0.97354756654411 × 6371000     		do = 1189.26189431678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77255107--0.77235933) × cos(0.23033397) × R
    0.000191739999999996 × 0.973590203053847 × 6371000     		du = 1189.31397803419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23052065)-sin(0.23033397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97354756654411-0.973590203053847)×R²
    abs(-0.77235933--0.77255107)×4.26365097367931e-05×R²
    0.000191739999999996×4.26365097367931e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.26365097367931e-05×40589641000000     		ar = 1414465.67254359m²