Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12355 / 14737
↖ ↑ ↗
← N 17.800996°
W 44.263916°		 ← 1 163.09 m → N 17.800996°
W 44.252930°		 →
↑
1 163.15 m
↓
↑
1 163.15 m
↓
N 17.790535°
W 44.263916°		 ← 1 163.16 m →
1 352 894 m²		 N 17.790535°
W 44.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377059936523438 y=0.449752807617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377059936523438 × 215)
    floor (0.377059936523438 × 32768)
    floor (12355.5)     		tx = 12355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449752807617188 × 215)
    floor (0.449752807617188 × 32768)
    floor (14737.5)     		ty = 14737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12355 / 14737 ti = "15/12355/14737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12355/14737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12355 ÷ 215
    12355 ÷ 32768     		x = 0.377044677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14737 ÷ 215
    14737 ÷ 32768     		y = 0.449737548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377044677734375 × 2 - 1) × π
    -0.24591064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77255107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449737548828125 × 2 - 1) × π
    0.10052490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.31580829469693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77255107} λ = -0.77255107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31580829469693))-π/2
    2×atan(1.37136733203492)-π/2
    2×0.940741158976294-π/2
    1.88148231795259-1.57079632675     		φ = 0.31068599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77255107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.263916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31068599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.800996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12355 KachelY 14737 -0.77255107 0.31068599 -44.263916 17.800996
    Oben rechts KachelX + 1 12356 KachelY 14737 -0.77235933 0.31068599 -44.252930 17.800996
    Unten links KachelX 12355 KachelY + 1 14738 -0.77255107 0.31050342 -44.263916 17.790535
    Unten rechts KachelX + 1 12356 KachelY + 1 14738 -0.77235933 0.31050342 -44.252930 17.790535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31068599-0.31050342) × R
    0.000182570000000049 × 6371000     		dl = 1163.15347000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31068599-0.31050342) × R
    0.000182570000000049 × 6371000     		dr = 1163.15347000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77255107--0.77235933) × cos(0.31068599) × R
    0.000191739999999996 × 0.95212407865247 × 6371000     		do = 1163.09148552687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77255107--0.77235933) × cos(0.31050342) × R
    0.000191739999999996 × 0.952179876597688 × 6371000     		du = 1163.15964693193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31068599)-sin(0.31050342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95212407865247-0.952179876597688)×R²
    abs(-0.77235933--0.77255107)×5.57979452183721e-05×R²
    0.000191739999999996×5.57979452183721e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.57979452183721e-05×40589641000000     		ar = 1352893.54216349m²