Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1235 / 947
↖ ↑ ↗
← N 13.410994°
E 37.089844°		 ← 19.013 km → N 13.410994°
E 37.265625°		 →
↑
19.020 km
↓
↑
19.020 km
↓
N 13.239945°
E 37.089844°		 ← 19.026 km →
361.750 km²		 N 13.239945°
E 37.265625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603271484375 y=0.462646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603271484375 × 211)
    floor (0.603271484375 × 2048)
    floor (1235.5)     		tx = 1235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462646484375 × 211)
    floor (0.462646484375 × 2048)
    floor (947.5)     		ty = 947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1235 / 947 ti = "11/1235/947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1235/947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1235 ÷ 211
    1235 ÷ 2048     		x = 0.60302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 947 ÷ 211
    947 ÷ 2048     		y = 0.46240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60302734375 × 2 - 1) × π
    0.2060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64733989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46240234375 × 2 - 1) × π
    0.0751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.236233041327637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64733989} λ = 0.64733989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.236233041327637))-π/2
    2×atan(1.26646941549367)-π/2
    2×0.90243116432628-π/2
    1.80486232865256-1.57079632675     		φ = 0.23406600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64733989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.089844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23406600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.410994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1235 KachelY 947 0.64733989 0.23406600 37.089844 13.410994
    Oben rechts KachelX + 1 1236 KachelY 947 0.65040785 0.23406600 37.265625 13.410994
    Unten links KachelX 1235 KachelY + 1 948 0.64733989 0.23108064 37.089844 13.239945
    Unten rechts KachelX + 1 1236 KachelY + 1 948 0.65040785 0.23108064 37.265625 13.239945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23406600-0.23108064) × R
    0.00298535999999999 × 6371000     		dl = 19019.72856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23406600-0.23108064) × R
    0.00298535999999999 × 6371000     		dr = 19019.72856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64733989-0.65040785) × cos(0.23406600) × R
    0.00306795999999998 × 0.972731392460163 × 6371000     		do = 19012.9816889156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64733989-0.65040785) × cos(0.23108064) × R
    0.00306795999999998 × 0.973419464906907 × 6371000     		du = 19026.4307344919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23406600)-sin(0.23108064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972731392460163-0.973419464906907)×R²
    abs(0.65040785-0.64733989)×0.000688072446744625×R²
    0.00306795999999998×0.000688072446744625×6371000²
    0.00306795999999998×0.000688072446744625×40589641000000     		ar = 361749918.108483m²