Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12343 / 20132
↖ ↑ ↗
← S 38.030786°
W 44.395752°		 ← 962.26 m → S 38.030786°
W 44.384766°		 →
↑
962.15 m
↓
↑
962.15 m
↓
S 38.039439°
W 44.395752°		 ← 962.15 m →
925 783 m²		 S 38.039439°
W 44.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376693725585938 y=0.614395141601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376693725585938 × 215)
    floor (0.376693725585938 × 32768)
    floor (12343.5)     		tx = 12343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614395141601562 × 215)
    floor (0.614395141601562 × 32768)
    floor (20132.5)     		ty = 20132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12343 / 20132 ti = "15/12343/20132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12343/20132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12343 ÷ 215
    12343 ÷ 32768     		x = 0.376678466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20132 ÷ 215
    20132 ÷ 32768     		y = 0.6143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.24664306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77485205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6143798828125 × 2 - 1) × π
    -0.228759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.718669999103882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77485205} λ = -0.77485205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.718669999103882))-π/2
    2×atan(0.487400067596121)-π/2
    2×0.453516949666755-π/2
    0.90703389933351-1.57079632675     		φ = -0.66376243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77485205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.395752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66376243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.030786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12343 KachelY 20132 -0.77485205 -0.66376243 -44.395752 -38.030786
    Oben rechts KachelX + 1 12344 KachelY 20132 -0.77466030 -0.66376243 -44.384766 -38.030786
    Unten links KachelX 12343 KachelY + 1 20133 -0.77485205 -0.66391345 -44.395752 -38.039439
    Unten rechts KachelX + 1 12344 KachelY + 1 20133 -0.77466030 -0.66391345 -44.384766 -38.039439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66376243--0.66391345) × R
    0.000151020000000002 × 6371000     		dl = 962.148420000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66376243--0.66391345) × R
    0.000151020000000002 × 6371000     		dr = 962.148420000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77485205--0.77466030) × cos(-0.66376243) × R
    0.000191750000000046 × 0.787679836191653 × 6371000     		do = 962.260604325525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77485205--0.77466030) × cos(-0.66391345) × R
    0.000191750000000046 × 0.787586786083817 × 6371000     		du = 962.146930661576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66376243)-sin(-0.66391345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787679836191653-0.787586786083817)×R²
    abs(-0.77466030--0.77485205)×9.30501078360013e-05×R²
    0.000191750000000046×9.30501078360013e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.30501078360013e-05×40589641000000     		ar = 925782.836372213m²