Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123428 / 26212
↖ ↑ ↗
← N 72.734743°
E159.005127°		 ← 90.65 m → N 72.734743°
E159.007874°		 →
↑
90.66 m
↓
↑
90.66 m
↓
N 72.733927°
E159.005127°		 ← 90.65 m →
8 218 m²		 N 72.733927°
E159.007874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941684722900391 y=0.199985504150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941684722900391 × 217)
    floor (0.941684722900391 × 131072)
    floor (123428.5)     		tx = 123428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199985504150391 × 217)
    floor (0.199985504150391 × 131072)
    floor (26212.5)     		ty = 26212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123428 / 26212 ti = "17/123428/26212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123428/26212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123428 ÷ 217
    123428 ÷ 131072     		x = 0.941680908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26212 ÷ 217
    26212 ÷ 131072     		y = 0.199981689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941680908203125 × 2 - 1) × π
    0.88336181640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.77516299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.199981689453125 × 2 - 1) × π
    0.60003662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.88507064065909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77516299} λ = 2.77516299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88507064065909))-π/2
    2×atan(6.58681972286752)-π/2
    2×1.42012853304378-π/2
    2.84025706608755-1.57079632675     		φ = 1.26946074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77516299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.005127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26946074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.734743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123428 KachelY 26212 2.77516299 1.26946074 159.005127 72.734743
    Oben rechts KachelX + 1 123429 KachelY 26212 2.77521093 1.26946074 159.007874 72.734743
    Unten links KachelX 123428 KachelY + 1 26213 2.77516299 1.26944651 159.005127 72.733927
    Unten rechts KachelX + 1 123429 KachelY + 1 26213 2.77521093 1.26944651 159.007874 72.733927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26946074-1.26944651) × R
    1.42299999998929e-05 × 6371000     		dl = 90.6593299993179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26946074-1.26944651) × R
    1.42299999998929e-05 × 6371000     		dr = 90.6593299993179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77516299-2.77521093) × cos(1.26946074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296795877508301 × 6371000     		do = 90.6491005168628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77516299-2.77521093) × cos(1.26944651) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296809466287888 × 6371000     		du = 90.6532508799239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26946074)-sin(1.26944651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296795877508301-0.296809466287888)×R²
    abs(2.77521093-2.77516299)×1.35887795872369e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35887795872369e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35887795872369e-05×40589641000000     		ar = 8218.37485254201m²