Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123412 / 25108
↖ ↑ ↗
← N 73.612298°
E158.961182°		 ← 86.17 m → N 73.612298°
E158.963928°		 →
↑
86.20 m
↓
↑
86.20 m
↓
N 73.611523°
E158.961182°		 ← 86.18 m →
7 428 m²		 N 73.611523°
E158.963928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941562652587891 y=0.191562652587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941562652587891 × 217)
    floor (0.941562652587891 × 131072)
    floor (123412.5)     		tx = 123412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191562652587891 × 217)
    floor (0.191562652587891 × 131072)
    floor (25108.5)     		ty = 25108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123412 / 25108 ti = "17/123412/25108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123412/25108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123412 ÷ 217
    123412 ÷ 131072     		x = 0.941558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25108 ÷ 217
    25108 ÷ 131072     		y = 0.191558837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941558837890625 × 2 - 1) × π
    0.88311767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.77439600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191558837890625 × 2 - 1) × π
    0.61688232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93799297783963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77439600} λ = 2.77439600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93799297783963))-π/2
    2×atan(6.94479860926344)-π/2
    2×1.42778664624161-π/2
    2.85557329248321-1.57079632675     		φ = 1.28477697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77439600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.961182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28477697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.612298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123412 KachelY 25108 2.77439600 1.28477697 158.961182 73.612298
    Oben rechts KachelX + 1 123413 KachelY 25108 2.77444394 1.28477697 158.963928 73.612298
    Unten links KachelX 123412 KachelY + 1 25109 2.77439600 1.28476344 158.961182 73.611523
    Unten rechts KachelX + 1 123413 KachelY + 1 25109 2.77444394 1.28476344 158.963928 73.611523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28477697-1.28476344) × R
    1.35299999999283e-05 × 6371000     		dl = 86.1996299995433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28477697-1.28476344) × R
    1.35299999999283e-05 × 6371000     		dr = 86.1996299995433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77439600-2.77444394) × cos(1.28477697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282135542678627 × 6371000     		do = 86.1714569028646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77439600-2.77444394) × cos(1.28476344) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282148522990523 × 6371000     		du = 86.1754214242309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28477697)-sin(1.28476344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282135542678627-0.282148522990523)×R²
    abs(2.77444394-2.77439600)×1.29803118960603e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29803118960603e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29803118960603e-05×40589641000000     		ar = 7428.11857181203m²