Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123407 / 26366
↖ ↑ ↗
← N 72.608762°
E158.947449°		 ← 91.27 m → N 72.608762°
E158.950195°		 →
↑
91.30 m
↓
↑
91.30 m
↓
N 72.607941°
E158.947449°		 ← 91.28 m →
8 333 m²		 N 72.607941°
E158.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941524505615234 y=0.201160430908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941524505615234 × 217)
    floor (0.941524505615234 × 131072)
    floor (123407.5)     		tx = 123407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201160430908203 × 217)
    floor (0.201160430908203 × 131072)
    floor (26366.5)     		ty = 26366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123407 / 26366 ti = "17/123407/26366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123407/26366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123407 ÷ 217
    123407 ÷ 131072     		x = 0.941520690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26366 ÷ 217
    26366 ÷ 131072     		y = 0.201156616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941520690917969 × 2 - 1) × π
    0.883041381835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.77415632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201156616210938 × 2 - 1) × π
    0.597686767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8776883581176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77415632} λ = 2.77415632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8776883581176))-π/2
    2×atan(6.53837300233402)-π/2
    2×1.41902914782593-π/2
    2.83805829565185-1.57079632675     		φ = 1.26726197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77415632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.947449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26726197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.608762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123407 KachelY 26366 2.77415632 1.26726197 158.947449 72.608762
    Oben rechts KachelX + 1 123408 KachelY 26366 2.77420425 1.26726197 158.950195 72.608762
    Unten links KachelX 123407 KachelY + 1 26367 2.77415632 1.26724764 158.947449 72.607941
    Unten rechts KachelX + 1 123408 KachelY + 1 26367 2.77420425 1.26724764 158.950195 72.607941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26726197-1.26724764) × R
    1.43300000001734e-05 × 6371000     		dl = 91.2964300011045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26726197-1.26724764) × R
    1.43300000001734e-05 × 6371000     		dr = 91.2964300011045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77415632-2.77420425) × cos(1.26726197) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.298894853873702 × 6371000     		do = 91.2711393354829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77415632-2.77420425) × cos(1.26724764) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.298908528762118 × 6371000     		du = 91.2753151271695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26726197)-sin(1.26724764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298894853873702-0.298908528762118)×R²
    abs(2.77420425-2.77415632)×1.36748884156379e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.36748884156379e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.36748884156379e-05×40589641000000     		ar = 8332.91980122324m²