Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123404 / 25205
↖ ↑ ↗
← N 73.536964°
E158.939209°		 ← 86.54 m → N 73.536964°
E158.941955°		 →
↑
86.58 m
↓
↑
86.58 m
↓
N 73.536185°
E158.939209°		 ← 86.54 m →
7 493 m²		 N 73.536185°
E158.941955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941501617431641 y=0.192302703857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941501617431641 × 217)
    floor (0.941501617431641 × 131072)
    floor (123404.5)     		tx = 123404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192302703857422 × 217)
    floor (0.192302703857422 × 131072)
    floor (25205.5)     		ty = 25205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123404 / 25205 ti = "17/123404/25205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123404/25205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123404 ÷ 217
    123404 ÷ 131072     		x = 0.941497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25205 ÷ 217
    25205 ÷ 131072     		y = 0.192298889160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941497802734375 × 2 - 1) × π
    0.88299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.77401251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192298889160156 × 2 - 1) × π
    0.615402221679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.93334309857648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77401251} λ = 2.77401251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93334309857648))-π/2
    2×atan(6.91258109604572)-π/2
    2×1.42712923305418-π/2
    2.85425846610836-1.57079632675     		φ = 1.28346214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77401251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.939209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28346214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.536964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123404 KachelY 25205 2.77401251 1.28346214 158.939209 73.536964
    Oben rechts KachelX + 1 123405 KachelY 25205 2.77406044 1.28346214 158.941955 73.536964
    Unten links KachelX 123404 KachelY + 1 25206 2.77401251 1.28344855 158.939209 73.536185
    Unten rechts KachelX + 1 123405 KachelY + 1 25206 2.77406044 1.28344855 158.941955 73.536185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28346214-1.28344855) × R
    1.35900000000078e-05 × 6371000     		dl = 86.5818900000495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28346214-1.28344855) × R
    1.35900000000078e-05 × 6371000     		dr = 86.5818900000495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77401251-2.77406044) × cos(1.28346214) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.283396712885673 × 6371000     		do = 86.5385955421493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77401251-2.77406044) × cos(1.28344855) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.283409745707078 × 6371000     		du = 86.5425752709501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28346214)-sin(1.28344855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283396712885673-0.283409745707078)×R²
    abs(2.77406044-2.77401251)×1.3032821404857e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.3032821404857e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.3032821404857e-05×40589641000000     		ar = 7492.84744640157m²