Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123400 / 26361
↖ ↑ ↗
← N 72.612867°
E158.928223°		 ← 91.27 m → N 72.612867°
E158.930969°		 →
↑
91.23 m
↓
↑
91.23 m
↓
N 72.612046°
E158.928223°		 ← 91.27 m →
8 327 m²		 N 72.612046°
E158.930969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941471099853516 y=0.201122283935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941471099853516 × 217)
    floor (0.941471099853516 × 131072)
    floor (123400.5)     		tx = 123400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201122283935547 × 217)
    floor (0.201122283935547 × 131072)
    floor (26361.5)     		ty = 26361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123400 / 26361 ti = "17/123400/26361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123400/26361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123400 ÷ 217
    123400 ÷ 131072     		x = 0.94146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26361 ÷ 217
    26361 ÷ 131072     		y = 0.201118469238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94146728515625 × 2 - 1) × π
    0.8829345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.77382076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201118469238281 × 2 - 1) × π
    0.597763061523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.8779280426157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77382076} λ = 2.77382076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8779280426157))-π/2
    2×atan(6.53994033681087)-π/2
    2×1.41906496396132-π/2
    2.83812992792264-1.57079632675     		φ = 1.26733360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77382076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.928223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26733360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.612867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123400 KachelY 26361 2.77382076 1.26733360 158.928223 72.612867
    Oben rechts KachelX + 1 123401 KachelY 26361 2.77386870 1.26733360 158.930969 72.612867
    Unten links KachelX 123400 KachelY + 1 26362 2.77382076 1.26731928 158.928223 72.612046
    Unten rechts KachelX + 1 123401 KachelY + 1 26362 2.77386870 1.26731928 158.930969 72.612046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26733360-1.26731928) × R
    1.43200000000121e-05 × 6371000     		dl = 91.2327200000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26733360-1.26731928) × R
    1.43200000000121e-05 × 6371000     		dr = 91.2327200000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77382076-2.77386870) × cos(1.26733360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.298826497597164 × 6371000     		do = 91.2693041601623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77382076-2.77386870) × cos(1.26731928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.298840163249323 × 6371000     		du = 91.2734780020854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26733360)-sin(1.26731928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298826497597164-0.298840163249323)×R²
    abs(2.77386870-2.77382076)×1.36656521586009e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36656521586009e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36656521586009e-05×40589641000000     		ar = 8326.93726684613m²