Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123393 / 26357
↖ ↑ ↗
← N 72.616150°
E158.908997°		 ← 91.25 m → N 72.616150°
E158.911743°		 →
↑
91.30 m
↓
↑
91.30 m
↓
N 72.615329°
E158.908997°		 ← 91.26 m →
8 331 m²		 N 72.615329°
E158.911743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941417694091797 y=0.201091766357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941417694091797 × 217)
    floor (0.941417694091797 × 131072)
    floor (123393.5)     		tx = 123393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201091766357422 × 217)
    floor (0.201091766357422 × 131072)
    floor (26357.5)     		ty = 26357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123393 / 26357 ti = "17/123393/26357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123393/26357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123393 ÷ 217
    123393 ÷ 131072     		x = 0.941413879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26357 ÷ 217
    26357 ÷ 131072     		y = 0.201087951660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941413879394531 × 2 - 1) × π
    0.882827758789062 × 3.1415926535     		Λ = 2.77348520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201087951660156 × 2 - 1) × π
    0.597824096679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.87811979021418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77348520} λ = 2.77348520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87811979021418))-π/2
    2×atan(6.54119447489979)-π/2
    2×1.41909361097176-π/2
    2.83818722194351-1.57079632675     		φ = 1.26739090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77348520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.908997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26739090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.616150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123393 KachelY 26357 2.77348520 1.26739090 158.908997 72.616150
    Oben rechts KachelX + 1 123394 KachelY 26357 2.77353314 1.26739090 158.911743 72.616150
    Unten links KachelX 123393 KachelY + 1 26358 2.77348520 1.26737657 158.908997 72.615329
    Unten rechts KachelX + 1 123394 KachelY + 1 26358 2.77353314 1.26737657 158.911743 72.615329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26739090-1.26737657) × R
    1.43300000001734e-05 × 6371000     		dl = 91.2964300011045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26739090-1.26737657) × R
    1.43300000001734e-05 × 6371000     		dr = 91.2964300011045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77348520-2.77353314) × cos(1.26739090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.298771815289286 × 6371000     		do = 91.2526027758135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77348520-2.77353314) × cos(1.26737657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.298785490729828 × 6371000     		du = 91.2567796073611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26739090)-sin(1.26737657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298771815289286-0.298785490729828)×R²
    abs(2.77353314-2.77348520)×1.36754405428152e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36754405428152e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36754405428152e-05×40589641000000     		ar = 8331.22752673438m²