Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123390 / 26360
↖ ↑ ↗
← N 72.613688°
E158.900757°		 ← 91.27 m → N 72.613688°
E158.903504°		 →
↑
91.30 m
↓
↑
91.30 m
↓
N 72.612867°
E158.900757°		 ← 91.27 m →
8 332 m²		 N 72.612867°
E158.903504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941394805908203 y=0.201114654541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941394805908203 × 217)
    floor (0.941394805908203 × 131072)
    floor (123390.5)     		tx = 123390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201114654541016 × 217)
    floor (0.201114654541016 × 131072)
    floor (26360.5)     		ty = 26360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123390 / 26360 ti = "17/123390/26360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123390/26360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123390 ÷ 217
    123390 ÷ 131072     		x = 0.941390991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26360 ÷ 217
    26360 ÷ 131072     		y = 0.20111083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941390991210938 × 2 - 1) × π
    0.882781982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.77334139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20111083984375 × 2 - 1) × π
    0.5977783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.87797597951532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77334139} λ = 2.77334139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87797597951532))-π/2
    2×atan(6.54025384878865)-π/2
    2×1.41907212620538-π/2
    2.83814425241076-1.57079632675     		φ = 1.26734793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77334139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.900757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26734793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.613688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123390 KachelY 26360 2.77334139 1.26734793 158.900757 72.613688
    Oben rechts KachelX + 1 123391 KachelY 26360 2.77338933 1.26734793 158.903504 72.613688
    Unten links KachelX 123390 KachelY + 1 26361 2.77334139 1.26733360 158.900757 72.612867
    Unten rechts KachelX + 1 123391 KachelY + 1 26361 2.77338933 1.26733360 158.903504 72.612867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26734793-1.26733360) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dl = 91.2964299996899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26734793-1.26733360) × R
    1.43299999999513e-05 × 6371000     		dr = 91.2964299996899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77334139-2.77338933) × cos(1.26734793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29881282234061 × 6371000     		do = 91.2651273848096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77334139-2.77338933) × cos(1.26733360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.298826497597164 × 6371000     		du = 91.2693041601623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26734793)-sin(1.26733360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29881282234061-0.298826497597164)×R²
    abs(2.77338933-2.77334139)×1.36752565540466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36752565540466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36752565540466e-05×40589641000000     		ar = 8332.37097603279m²