Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123378 / 25198
↖ ↑ ↗
← N 73.542411°
E158.867798°		 ← 86.51 m → N 73.542411°
E158.870544°		 →
↑
86.52 m
↓
↑
86.52 m
↓
N 73.541633°
E158.867798°		 ← 86.51 m →
7 485 m²		 N 73.541633°
E158.870544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941303253173828 y=0.192249298095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941303253173828 × 217)
    floor (0.941303253173828 × 131072)
    floor (123378.5)     		tx = 123378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192249298095703 × 217)
    floor (0.192249298095703 × 131072)
    floor (25198.5)     		ty = 25198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123378 / 25198 ti = "17/123378/25198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123378/25198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123378 ÷ 217
    123378 ÷ 131072     		x = 0.941299438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25198 ÷ 217
    25198 ÷ 131072     		y = 0.192245483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941299438476562 × 2 - 1) × π
    0.882598876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.77276615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192245483398438 × 2 - 1) × π
    0.615509033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93367865687383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77276615} λ = 2.77276615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93367865687383))-π/2
    2×atan(6.91490105920821)-π/2
    2×1.42717677346375-π/2
    2.8543535469275-1.57079632675     		φ = 1.28355722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77276615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.867798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28355722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.542411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123378 KachelY 25198 2.77276615 1.28355722 158.867798 73.542411
    Oben rechts KachelX + 1 123379 KachelY 25198 2.77281408 1.28355722 158.870544 73.542411
    Unten links KachelX 123378 KachelY + 1 25199 2.77276615 1.28354364 158.867798 73.541633
    Unten rechts KachelX + 1 123379 KachelY + 1 25199 2.77281408 1.28354364 158.870544 73.541633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28355722-1.28354364) × R
    1.35800000000685e-05 × 6371000     		dl = 86.5181800004366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28355722-1.28354364) × R
    1.35800000000685e-05 × 6371000     		dr = 86.5181800004366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77276615-2.77281408) × cos(1.28355722) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.283305529621939 × 6371000     		do = 86.5107516356335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77276615-2.77281408) × cos(1.28354364) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.283318553219223 × 6371000     		du = 86.5147285477379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28355722)-sin(1.28354364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283305529621939-0.283318553219223)×R²
    abs(2.77281408-2.77276615)×1.30235972833348e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.30235972833348e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.30235972833348e-05×40589641000000     		ar = 7484.92481969847m²