Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123370 / 25194
↖ ↑ ↗
← N 73.545524°
E158.845825°		 ← 86.51 m → N 73.545524°
E158.848572°		 →
↑
86.52 m
↓
↑
86.52 m
↓
N 73.544746°
E158.845825°		 ← 86.52 m →
7 485 m²		 N 73.544746°
E158.848572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941242218017578 y=0.192218780517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941242218017578 × 217)
    floor (0.941242218017578 × 131072)
    floor (123370.5)     		tx = 123370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192218780517578 × 217)
    floor (0.192218780517578 × 131072)
    floor (25194.5)     		ty = 25194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123370 / 25194 ti = "17/123370/25194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123370/25194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123370 ÷ 217
    123370 ÷ 131072     		x = 0.941238403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25194 ÷ 217
    25194 ÷ 131072     		y = 0.192214965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941238403320312 × 2 - 1) × π
    0.882476806640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.77238265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192214965820312 × 2 - 1) × π
    0.615570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93387040447231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77238265} λ = 2.77238265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93387040447231))-π/2
    2×atan(6.91622710200874)-π/2
    2×1.42720393254395-π/2
    2.85440786508791-1.57079632675     		φ = 1.28361154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77238265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.845825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28361154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.545524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123370 KachelY 25194 2.77238265 1.28361154 158.845825 73.545524
    Oben rechts KachelX + 1 123371 KachelY 25194 2.77243059 1.28361154 158.848572 73.545524
    Unten links KachelX 123370 KachelY + 1 25195 2.77238265 1.28359796 158.845825 73.544746
    Unten rechts KachelX + 1 123371 KachelY + 1 25195 2.77243059 1.28359796 158.848572 73.544746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28361154-1.28359796) × R
    1.35800000000685e-05 × 6371000     		dl = 86.5181800004366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28361154-1.28359796) × R
    1.35800000000685e-05 × 6371000     		dr = 86.5181800004366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77238265-2.77243059) × cos(1.28361154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.283253434710369 × 6371000     		do = 86.5128899038993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77238265-2.77243059) × cos(1.28359796) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.283266458516622 × 6371000     		du = 86.5168677095619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28361154)-sin(1.28359796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283253434710369-0.283266458516622)×R²
    abs(2.77243059-2.77238265)×1.30238062536758e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30238062536758e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30238062536758e-05×40589641000000     		ar = 7485.10985752173m²