Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123369 / 25195
↖ ↑ ↗
← N 73.544746°
E158.843079°		 ← 86.50 m → N 73.544746°
E158.845825°		 →
↑
86.52 m
↓
↑
86.52 m
↓
N 73.543968°
E158.843079°		 ← 86.50 m →
7 484 m²		 N 73.543968°
E158.845825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941234588623047 y=0.192226409912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941234588623047 × 217)
    floor (0.941234588623047 × 131072)
    floor (123369.5)     		tx = 123369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192226409912109 × 217)
    floor (0.192226409912109 × 131072)
    floor (25195.5)     		ty = 25195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123369 / 25195 ti = "17/123369/25195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123369/25195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123369 ÷ 217
    123369 ÷ 131072     		x = 0.941230773925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25195 ÷ 217
    25195 ÷ 131072     		y = 0.192222595214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941230773925781 × 2 - 1) × π
    0.882461547851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.77233472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192222595214844 × 2 - 1) × π
    0.615554809570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.93382246757269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77233472} λ = 2.77233472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93382246757269))-π/2
    2×atan(6.91589556747083)-π/2
    2×1.42719714324212-π/2
    2.85439428648424-1.57079632675     		φ = 1.28359796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77233472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.843079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28359796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.544746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123369 KachelY 25195 2.77233472 1.28359796 158.843079 73.544746
    Oben rechts KachelX + 1 123370 KachelY 25195 2.77238265 1.28359796 158.845825 73.544746
    Unten links KachelX 123369 KachelY + 1 25196 2.77233472 1.28358438 158.843079 73.543968
    Unten rechts KachelX + 1 123370 KachelY + 1 25196 2.77238265 1.28358438 158.845825 73.543968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28359796-1.28358438) × R
    1.35800000000685e-05 × 6371000     		dl = 86.5181800004366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28359796-1.28358438) × R
    1.35800000000685e-05 × 6371000     		dr = 86.5181800004366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77233472-2.77238265) × cos(1.28359796) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.283266458516622 × 6371000     		do = 86.4988208035995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77233472-2.77238265) × cos(1.28358438) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.283279482270637 × 6371000     		du = 86.5027977635636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28359796)-sin(1.28358438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283266458516622-0.283279482270637)×R²
    abs(2.77238265-2.77233472)×1.30237540146294e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.30237540146294e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.30237540146294e-05×40589641000000     		ar = 7483.89258783648m²