Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123368 / 25141
↖ ↑ ↗
← N 73.586706°
E158.840332°		 ← 86.30 m → N 73.586706°
E158.843079°		 →
↑
86.26 m
↓
↑
86.26 m
↓
N 73.585930°
E158.840332°		 ← 86.31 m →
7 445 m²		 N 73.585930°
E158.843079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941226959228516 y=0.191814422607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941226959228516 × 217)
    floor (0.941226959228516 × 131072)
    floor (123368.5)     		tx = 123368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191814422607422 × 217)
    floor (0.191814422607422 × 131072)
    floor (25141.5)     		ty = 25141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123368 / 25141 ti = "17/123368/25141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123368/25141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123368 ÷ 217
    123368 ÷ 131072     		x = 0.94122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25141 ÷ 217
    25141 ÷ 131072     		y = 0.191810607910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94122314453125 × 2 - 1) × π
    0.8824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.77228678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191810607910156 × 2 - 1) × π
    0.616378784179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.93641106015217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77228678} λ = 2.77228678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93641106015217))-π/2
    2×atan(6.93382119448011)-π/2
    2×1.4275633192197-π/2
    2.8551266384394-1.57079632675     		φ = 1.28433031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77228678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.840332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28433031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.586706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123368 KachelY 25141 2.77228678 1.28433031 158.840332 73.586706
    Oben rechts KachelX + 1 123369 KachelY 25141 2.77233472 1.28433031 158.843079 73.586706
    Unten links KachelX 123368 KachelY + 1 25142 2.77228678 1.28431677 158.840332 73.585930
    Unten rechts KachelX + 1 123369 KachelY + 1 25142 2.77233472 1.28431677 158.843079 73.585930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28433031-1.28431677) × R
    1.35400000000896e-05 × 6371000     		dl = 86.2633400005708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28433031-1.28431677) × R
    1.35400000000896e-05 × 6371000     		dr = 86.2633400005708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77228678-2.77233472) × cos(1.28433031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282564028759082 × 6371000     		do = 86.3023275810674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77228678-2.77233472) × cos(1.28431677) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282577016957058 × 6371000     		du = 86.3062945110454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28433031)-sin(1.28431677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282564028759082-0.282577016957058)×R²
    abs(2.77233472-2.77228678)×1.2988197975905e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.2988197975905e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.2988197975905e-05×40589641000000     		ar = 7444.89812739327m²