Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123367 / 25142
↖ ↑ ↗
← N 73.585930°
E158.837585°		 ← 86.31 m → N 73.585930°
E158.840332°		 →
↑
86.33 m
↓
↑
86.33 m
↓
N 73.585154°
E158.837585°		 ← 86.31 m →
7 451 m²		 N 73.585154°
E158.840332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941219329833984 y=0.191822052001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941219329833984 × 217)
    floor (0.941219329833984 × 131072)
    floor (123367.5)     		tx = 123367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191822052001953 × 217)
    floor (0.191822052001953 × 131072)
    floor (25142.5)     		ty = 25142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123367 / 25142 ti = "17/123367/25142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123367/25142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123367 ÷ 217
    123367 ÷ 131072     		x = 0.941215515136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25142 ÷ 217
    25142 ÷ 131072     		y = 0.191818237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941215515136719 × 2 - 1) × π
    0.882431030273438 × 3.1415926535     		Λ = 2.77223884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191818237304688 × 2 - 1) × π
    0.616363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93636312325255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77223884} λ = 2.77223884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93636312325255))-π/2
    2×atan(6.93348881655617)-π/2
    2×1.42755654644228-π/2
    2.85511309288456-1.57079632675     		φ = 1.28431677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77223884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.837585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28431677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.585930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123367 KachelY 25142 2.77223884 1.28431677 158.837585 73.585930
    Oben rechts KachelX + 1 123368 KachelY 25142 2.77228678 1.28431677 158.840332 73.585930
    Unten links KachelX 123367 KachelY + 1 25143 2.77223884 1.28430322 158.837585 73.585154
    Unten rechts KachelX + 1 123368 KachelY + 1 25143 2.77228678 1.28430322 158.840332 73.585154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28431677-1.28430322) × R
    1.35500000000288e-05 × 6371000     		dl = 86.3270500001836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28431677-1.28430322) × R
    1.35500000000288e-05 × 6371000     		dr = 86.3270500001836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77223884-2.77228678) × cos(1.28431677) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282577016957058 × 6371000     		do = 86.3062945110454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77223884-2.77228678) × cos(1.28430322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282590014695636 × 6371000     		du = 86.310264354969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28431677)-sin(1.28430322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282577016957058-0.282590014695636)×R²
    abs(2.77228678-2.77223884)×1.29977385783797e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29977385783797e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29977385783797e-05×40589641000000     		ar = 7450.7391539785m²