Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123365 / 25151
↖ ↑ ↗
← N 73.578944°
E158.832092°		 ← 86.34 m → N 73.578944°
E158.834839°		 →
↑
86.33 m
↓
↑
86.33 m
↓
N 73.578167°
E158.832092°		 ← 86.35 m →
7 454 m²		 N 73.578167°
E158.834839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941204071044922 y=0.191890716552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941204071044922 × 217)
    floor (0.941204071044922 × 131072)
    floor (123365.5)     		tx = 123365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191890716552734 × 217)
    floor (0.191890716552734 × 131072)
    floor (25151.5)     		ty = 25151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123365 / 25151 ti = "17/123365/25151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123365/25151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123365 ÷ 217
    123365 ÷ 131072     		x = 0.941200256347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25151 ÷ 217
    25151 ÷ 131072     		y = 0.191886901855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941200256347656 × 2 - 1) × π
    0.882400512695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.77214297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191886901855469 × 2 - 1) × π
    0.616226196289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.93593169115597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77214297} λ = 2.77214297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93593169115597))-π/2
    2×atan(6.93049813212444)-π/2
    2×1.42749557742908-π/2
    2.85499115485816-1.57079632675     		φ = 1.28419483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77214297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.832092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28419483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.578944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123365 KachelY 25151 2.77214297 1.28419483 158.832092 73.578944
    Oben rechts KachelX + 1 123366 KachelY 25151 2.77219091 1.28419483 158.834839 73.578944
    Unten links KachelX 123365 KachelY + 1 25152 2.77214297 1.28418128 158.832092 73.578167
    Unten rechts KachelX + 1 123366 KachelY + 1 25152 2.77219091 1.28418128 158.834839 73.578167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28419483-1.28418128) × R
    1.35499999998068e-05 × 6371000     		dl = 86.3270499987689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28419483-1.28418128) × R
    1.35499999998068e-05 × 6371000     		dr = 86.3270499987689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77214297-2.77219091) × cos(1.28419483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282693985144129 × 6371000     		do = 86.3420196061381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77214297-2.77219091) × cos(1.28418128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282706982415702 × 6371000     		du = 86.3459893074261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28419483)-sin(1.28418128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282693985144129-0.282706982415702)×R²
    abs(2.77219091-2.77214297)×1.29972715725013e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29972715725013e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29972715725013e-05×40589641000000     		ar = 7453.82318985975m²