Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123361 / 26204
↖ ↑ ↗
← N 72.741263°
E158.821106°		 ← 90.62 m → N 72.741263°
E158.823853°		 →
↑
90.60 m
↓
↑
90.60 m
↓
N 72.740448°
E158.821106°		 ← 90.62 m →
8 210 m²		 N 72.740448°
E158.823853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941173553466797 y=0.199924468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941173553466797 × 217)
    floor (0.941173553466797 × 131072)
    floor (123361.5)     		tx = 123361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199924468994141 × 217)
    floor (0.199924468994141 × 131072)
    floor (26204.5)     		ty = 26204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123361 / 26204 ti = "17/123361/26204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123361/26204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123361 ÷ 217
    123361 ÷ 131072     		x = 0.941169738769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26204 ÷ 217
    26204 ÷ 131072     		y = 0.199920654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941169738769531 × 2 - 1) × π
    0.882339477539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.77195122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.199920654296875 × 2 - 1) × π
    0.60015869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.88545413585605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77195122} λ = 2.77195122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88545413585605))-π/2
    2×atan(6.58934622101347)-π/2
    2×1.42018543252117-π/2
    2.84037086504234-1.57079632675     		φ = 1.26957454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77195122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.821106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26957454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.741263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123361 KachelY 26204 2.77195122 1.26957454 158.821106 72.741263
    Oben rechts KachelX + 1 123362 KachelY 26204 2.77199916 1.26957454 158.823853 72.741263
    Unten links KachelX 123361 KachelY + 1 26205 2.77195122 1.26956032 158.821106 72.740448
    Unten rechts KachelX + 1 123362 KachelY + 1 26205 2.77199916 1.26956032 158.823853 72.740448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26957454-1.26956032) × R
    1.42199999999537e-05 × 6371000     		dl = 90.5956199997051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26957454-1.26956032) × R
    1.42199999999537e-05 × 6371000     		dr = 90.5956199997051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77195122-2.77199916) × cos(1.26957454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296687203307256 × 6371000     		do = 90.6159086185897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77195122-2.77199916) × cos(1.26956032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296700783017685 × 6371000     		du = 90.6200562116964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26957454)-sin(1.26956032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296687203307256-0.296700783017685)×R²
    abs(2.77199916-2.77195122)×1.35797104288682e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35797104288682e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35797104288682e-05×40589641000000     		ar = 8209.59230015923m²