Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123360 / 25056
↖ ↑ ↗
← N 73.652545°
E158.818359°		 ← 85.97 m → N 73.652545°
E158.821106°		 →
↑
85.94 m
↓
↑
85.94 m
↓
N 73.651772°
E158.818359°		 ← 85.97 m →
7 388 m²		 N 73.651772°
E158.821106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941165924072266 y=0.191165924072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941165924072266 × 217)
    floor (0.941165924072266 × 131072)
    floor (123360.5)     		tx = 123360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191165924072266 × 217)
    floor (0.191165924072266 × 131072)
    floor (25056.5)     		ty = 25056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123360 / 25056 ti = "17/123360/25056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123360/25056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123360 ÷ 217
    123360 ÷ 131072     		x = 0.941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25056 ÷ 217
    25056 ÷ 131072     		y = 0.191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941162109375 × 2 - 1) × π
    0.88232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.77190328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191162109375 × 2 - 1) × π
    0.61767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.94048569661987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77190328} λ = 2.77190328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94048569661987))-π/2
    2×atan(6.96213163338403)-π/2
    2×1.4281378683681-π/2
    2.85627573673619-1.57079632675     		φ = 1.28547941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77190328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.818359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28547941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.652545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123360 KachelY 25056 2.77190328 1.28547941 158.818359 73.652545
    Oben rechts KachelX + 1 123361 KachelY 25056 2.77195122 1.28547941 158.821106 73.652545
    Unten links KachelX 123360 KachelY + 1 25057 2.77190328 1.28546592 158.818359 73.651772
    Unten rechts KachelX + 1 123361 KachelY + 1 25057 2.77195122 1.28546592 158.821106 73.651772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28547941-1.28546592) × R
    1.34899999999494e-05 × 6371000     		dl = 85.9447899996775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28547941-1.28546592) × R
    1.34899999999494e-05 × 6371000     		dr = 85.9447899996775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77190328-2.77195122) × cos(1.28547941) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281461570066148 × 6371000     		do = 85.9656083189587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77190328-2.77195122) × cos(1.28546592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.281474514673575 × 6371000     		du = 85.9695619352611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28547941)-sin(1.28546592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281461570066148-0.281474514673575)×R²
    abs(2.77195122-2.77190328)×1.29446074271788e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29446074271788e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29446074271788e-05×40589641000000     		ar = 7388.46605068776m²