Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123359 / 26207
↖ ↑ ↗
← N 72.738818°
E158.815613°		 ← 90.61 m → N 72.738818°
E158.818359°		 →
↑
90.66 m
↓
↑
90.66 m
↓
N 72.738003°
E158.815613°		 ← 90.61 m →
8 215 m²		 N 72.738003°
E158.818359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941158294677734 y=0.199947357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941158294677734 × 217)
    floor (0.941158294677734 × 131072)
    floor (123359.5)     		tx = 123359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199947357177734 × 217)
    floor (0.199947357177734 × 131072)
    floor (26207.5)     		ty = 26207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123359 / 26207 ti = "17/123359/26207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123359/26207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123359 ÷ 217
    123359 ÷ 131072     		x = 0.941154479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26207 ÷ 217
    26207 ÷ 131072     		y = 0.199943542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941154479980469 × 2 - 1) × π
    0.882308959960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.77185535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.199943542480469 × 2 - 1) × π
    0.600112915039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.88531032515719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77185535} λ = 2.77185535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88531032515719))-π/2
    2×atan(6.58839867066397)-π/2
    2×1.42016409765905-π/2
    2.84032819531809-1.57079632675     		φ = 1.26953187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77185535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.815613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26953187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.738818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123359 KachelY 26207 2.77185535 1.26953187 158.815613 72.738818
    Oben rechts KachelX + 1 123360 KachelY 26207 2.77190328 1.26953187 158.818359 72.738818
    Unten links KachelX 123359 KachelY + 1 26208 2.77185535 1.26951764 158.815613 72.738003
    Unten rechts KachelX + 1 123360 KachelY + 1 26208 2.77190328 1.26951764 158.818359 72.738003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26953187-1.26951764) × R
    1.4230000000115e-05 × 6371000     		dl = 90.6593300007326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26953187-1.26951764) × R
    1.4230000000115e-05 × 6371000     		dr = 90.6593300007326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77185535-2.77190328) × cos(1.26953187) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.296727951808175 × 6371000     		do = 90.6094497219418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77185535-2.77190328) × cos(1.26951764) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.296741540888145 × 6371000     		du = 90.6135993109875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26953187)-sin(1.26951764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296727951808175-0.296741540888145)×R²
    abs(2.77190328-2.77185535)×1.35890799707883e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35890799707883e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35890799707883e-05×40589641000000     		ar = 8214.78010313606m²