Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123359 / 25147
↖ ↑ ↗
← N 73.582049°
E158.815613°		 ← 86.31 m → N 73.582049°
E158.818359°		 →
↑
86.33 m
↓
↑
86.33 m
↓
N 73.581273°
E158.815613°		 ← 86.31 m →
7 451 m²		 N 73.581273°
E158.818359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941158294677734 y=0.191860198974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941158294677734 × 217)
    floor (0.941158294677734 × 131072)
    floor (123359.5)     		tx = 123359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191860198974609 × 217)
    floor (0.191860198974609 × 131072)
    floor (25147.5)     		ty = 25147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123359 / 25147 ti = "17/123359/25147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123359/25147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123359 ÷ 217
    123359 ÷ 131072     		x = 0.941154479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25147 ÷ 217
    25147 ÷ 131072     		y = 0.191856384277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941154479980469 × 2 - 1) × π
    0.882308959960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.77185535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191856384277344 × 2 - 1) × π
    0.616287231445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.93612343875445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77185535} λ = 2.77185535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93612343875445))-π/2
    2×atan(6.931827165913)-π/2
    2×1.4275226778833-π/2
    2.85504535576661-1.57079632675     		φ = 1.28424903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77185535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.815613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28424903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.582049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123359 KachelY 25147 2.77185535 1.28424903 158.815613 73.582049
    Oben rechts KachelX + 1 123360 KachelY 25147 2.77190328 1.28424903 158.818359 73.582049
    Unten links KachelX 123359 KachelY + 1 25148 2.77185535 1.28423548 158.815613 73.581273
    Unten rechts KachelX + 1 123360 KachelY + 1 25148 2.77190328 1.28423548 158.818359 73.581273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28424903-1.28423548) × R
    1.35500000000288e-05 × 6371000     		dl = 86.3270500001836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28424903-1.28423548) × R
    1.35500000000288e-05 × 6371000     		dr = 86.3270500001836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77185535-2.77190328) × cos(1.28424903) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.282641995538829 × 6371000     		do = 86.3081335210406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77185535-2.77190328) × cos(1.28423548) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.282654993018001 × 6371000     		du = 86.3121024576654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28424903)-sin(1.28423548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282641995538829-0.282654993018001)×R²
    abs(2.77190328-2.77185535)×1.29974791717169e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.29974791717169e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.29974791717169e-05×40589641000000     		ar = 7450.8978711519m²