Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123358 / 26209
↖ ↑ ↗
← N 72.737188°
E158.812866°		 ← 90.64 m → N 72.737188°
E158.815613°		 →
↑
90.66 m
↓
↑
90.66 m
↓
N 72.736373°
E158.812866°		 ← 90.64 m →
8 217 m²		 N 72.736373°
E158.815613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941150665283203 y=0.199962615966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941150665283203 × 217)
    floor (0.941150665283203 × 131072)
    floor (123358.5)     		tx = 123358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199962615966797 × 217)
    floor (0.199962615966797 × 131072)
    floor (26209.5)     		ty = 26209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123358 / 26209 ti = "17/123358/26209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123358/26209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123358 ÷ 217
    123358 ÷ 131072     		x = 0.941146850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26209 ÷ 217
    26209 ÷ 131072     		y = 0.199958801269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941146850585938 × 2 - 1) × π
    0.882293701171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.77180741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.199958801269531 × 2 - 1) × π
    0.600082397460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.88521445135795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77180741} λ = 2.77180741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88521445135795))-π/2
    2×atan(6.58776704613111)-π/2
    2×1.42014987278977-π/2
    2.84029974557953-1.57079632675     		φ = 1.26950342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77180741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.812866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26950342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.737188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123358 KachelY 26209 2.77180741 1.26950342 158.812866 72.737188
    Oben rechts KachelX + 1 123359 KachelY 26209 2.77185535 1.26950342 158.815613 72.737188
    Unten links KachelX 123358 KachelY + 1 26210 2.77180741 1.26948919 158.812866 72.736373
    Unten rechts KachelX + 1 123359 KachelY + 1 26210 2.77185535 1.26948919 158.815613 72.736373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26950342-1.26948919) × R
    1.42299999998929e-05 × 6371000     		dl = 90.6593299993179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26950342-1.26948919) × R
    1.42299999998929e-05 × 6371000     		dr = 90.6593299993179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77180741-2.77185535) × cos(1.26950342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296755120358492 × 6371000     		do = 90.636652234222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77180741-2.77185535) × cos(1.26948919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296768709318326 × 6371000     		du = 90.6408026523351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26950342)-sin(1.26948919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296755120358492-0.296768709318326)×R²
    abs(2.77185535-2.77180741)×1.35889598339434e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35889598339434e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35889598339434e-05×40589641000000     		ar = 8217.24630229119m²