Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123344 / 25168
↖ ↑ ↗
← N 73.565739°
E158.774414°		 ← 86.41 m → N 73.565739°
E158.777161°		 →
↑
86.39 m
↓
↑
86.39 m
↓
N 73.564962°
E158.774414°		 ← 86.41 m →
7 465 m²		 N 73.564962°
E158.777161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941043853759766 y=0.192020416259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941043853759766 × 217)
    floor (0.941043853759766 × 131072)
    floor (123344.5)     		tx = 123344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192020416259766 × 217)
    floor (0.192020416259766 × 131072)
    floor (25168.5)     		ty = 25168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123344 / 25168 ti = "17/123344/25168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123344/25168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123344 ÷ 217
    123344 ÷ 131072     		x = 0.9410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25168 ÷ 217
    25168 ÷ 131072     		y = 0.1920166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9410400390625 × 2 - 1) × π
    0.882080078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.77113629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1920166015625 × 2 - 1) × π
    0.615966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93511676386243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77113629} λ = 2.77113629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93511676386243))-π/2
    2×atan(6.92485258070815)-π/2
    2×1.42738034487523-π/2
    2.85476068975047-1.57079632675     		φ = 1.28396436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77113629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.774414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28396436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.565739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123344 KachelY 25168 2.77113629 1.28396436 158.774414 73.565739
    Oben rechts KachelX + 1 123345 KachelY 25168 2.77118423 1.28396436 158.777161 73.565739
    Unten links KachelX 123344 KachelY + 1 25169 2.77113629 1.28395080 158.774414 73.564962
    Unten rechts KachelX + 1 123345 KachelY + 1 25169 2.77118423 1.28395080 158.777161 73.564962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28396436-1.28395080) × R
    1.3559999999968e-05 × 6371000     		dl = 86.3907599997964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28396436-1.28395080) × R
    1.3559999999968e-05 × 6371000     		dr = 86.3907599997964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77113629-2.77118423) × cos(1.28396436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282915046797464 × 6371000     		do = 86.4095375251935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77113629-2.77118423) × cos(1.28395080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282928052777267 × 6371000     		du = 86.4135098861991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28396436)-sin(1.28395080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282915046797464-0.282928052777267)×R²
    abs(2.77118423-2.77113629)×1.30059798023607e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30059798023607e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30059798023607e-05×40589641000000     		ar = 7465.15720576329m²