Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123341 / 25170
↖ ↑ ↗
← N 73.564185°
E158.766174°		 ← 86.42 m → N 73.564185°
E158.768921°		 →
↑
86.45 m
↓
↑
86.45 m
↓
N 73.563408°
E158.766174°		 ← 86.42 m →
7 471 m²		 N 73.563408°
E158.768921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941020965576172 y=0.192035675048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941020965576172 × 217)
    floor (0.941020965576172 × 131072)
    floor (123341.5)     		tx = 123341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192035675048828 × 217)
    floor (0.192035675048828 × 131072)
    floor (25170.5)     		ty = 25170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123341 / 25170 ti = "17/123341/25170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123341/25170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123341 ÷ 217
    123341 ÷ 131072     		x = 0.941017150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25170 ÷ 217
    25170 ÷ 131072     		y = 0.192031860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941017150878906 × 2 - 1) × π
    0.882034301757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.77099248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192031860351562 × 2 - 1) × π
    0.615936279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93502089006319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77099248} λ = 2.77099248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93502089006319))-π/2
    2×atan(6.92418870060692)-π/2
    2×1.42736678218159-π/2
    2.85473356436318-1.57079632675     		φ = 1.28393724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77099248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.766174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28393724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.564185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123341 KachelY 25170 2.77099248 1.28393724 158.766174 73.564185
    Oben rechts KachelX + 1 123342 KachelY 25170 2.77104042 1.28393724 158.768921 73.564185
    Unten links KachelX 123341 KachelY + 1 25171 2.77099248 1.28392367 158.766174 73.563408
    Unten rechts KachelX + 1 123342 KachelY + 1 25171 2.77104042 1.28392367 158.768921 73.563408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28393724-1.28392367) × R
    1.35699999999073e-05 × 6371000     		dl = 86.4544699994092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28393724-1.28392367) × R
    1.35699999999073e-05 × 6371000     		dr = 86.4544699994092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77099248-2.77104042) × cos(1.28393724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282941058705046 × 6371000     		do = 86.4174822313155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77099248-2.77104042) × cos(1.28392367) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282954074172135 × 6371000     		du = 86.4214574899824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28393724)-sin(1.28392367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282941058705046-0.282954074172135)×R²
    abs(2.77104042-2.77099248)×1.30154670885396e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30154670885396e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30154670885396e-05×40589641000000     		ar = 7471.34946455229m²