Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123338 / 25242
↖ ↑ ↗
← N 73.508139°
E158.757934°		 ← 86.70 m → N 73.508139°
E158.760681°		 →
↑
86.71 m
↓
↑
86.71 m
↓
N 73.507360°
E158.757934°		 ← 86.71 m →
7 518 m²		 N 73.507360°
E158.760681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940998077392578 y=0.192584991455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940998077392578 × 217)
    floor (0.940998077392578 × 131072)
    floor (123338.5)     		tx = 123338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192584991455078 × 217)
    floor (0.192584991455078 × 131072)
    floor (25242.5)     		ty = 25242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123338 / 25242 ti = "17/123338/25242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123338/25242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123338 ÷ 217
    123338 ÷ 131072     		x = 0.940994262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25242 ÷ 217
    25242 ÷ 131072     		y = 0.192581176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940994262695312 × 2 - 1) × π
    0.881988525390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.77084867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192581176757812 × 2 - 1) × π
    0.614837646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93156943329054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77084867} λ = 2.77084867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93156943329054))-π/2
    2×atan(6.90033135759868)-π/2
    2×1.42687769374106-π/2
    2.85375538748211-1.57079632675     		φ = 1.28295906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77084867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.757934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28295906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.508139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123338 KachelY 25242 2.77084867 1.28295906 158.757934 73.508139
    Oben rechts KachelX + 1 123339 KachelY 25242 2.77089661 1.28295906 158.760681 73.508139
    Unten links KachelX 123338 KachelY + 1 25243 2.77084867 1.28294545 158.757934 73.507360
    Unten rechts KachelX + 1 123339 KachelY + 1 25243 2.77089661 1.28294545 158.760681 73.507360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28295906-1.28294545) × R
    1.36100000001083e-05 × 6371000     		dl = 86.7093100006897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28295906-1.28294545) × R
    1.36100000001083e-05 × 6371000     		dr = 86.7093100006897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77084867-2.77089661) × cos(1.28295906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.283879132113935 × 6371000     		do = 86.7039939963996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77084867-2.77089661) × cos(1.28294545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.283892182173228 × 6371000     		du = 86.7079798204161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28295906)-sin(1.28294545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283879132113935-0.283892182173228)×R²
    abs(2.77089661-2.77084867)×1.30500592926408e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30500592926408e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30500592926408e-05×40589641000000     		ar = 7518.21629782951m²