Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123332 / 25158
↖ ↑ ↗
← N 73.573508°
E158.741455°		 ← 86.37 m → N 73.573508°
E158.744202°		 →
↑
86.33 m
↓
↑
86.33 m
↓
N 73.572731°
E158.741455°		 ← 86.37 m →
7 456 m²		 N 73.572731°
E158.744202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940952301025391 y=0.191944122314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940952301025391 × 217)
    floor (0.940952301025391 × 131072)
    floor (123332.5)     		tx = 123332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191944122314453 × 217)
    floor (0.191944122314453 × 131072)
    floor (25158.5)     		ty = 25158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123332 / 25158 ti = "17/123332/25158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123332/25158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123332 ÷ 217
    123332 ÷ 131072     		x = 0.940948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25158 ÷ 217
    25158 ÷ 131072     		y = 0.191940307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940948486328125 × 2 - 1) × π
    0.88189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.77056105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191940307617188 × 2 - 1) × π
    0.616119384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93559613285863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77056105} λ = 2.77056105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93559613285863))-π/2
    2×atan(6.92817293611273)-π/2
    2×1.42744813963866-π/2
    2.85489627927733-1.57079632675     		φ = 1.28409995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77056105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.741455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28409995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.573508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123332 KachelY 25158 2.77056105 1.28409995 158.741455 73.573508
    Oben rechts KachelX + 1 123333 KachelY 25158 2.77060899 1.28409995 158.744202 73.573508
    Unten links KachelX 123332 KachelY + 1 25159 2.77056105 1.28408640 158.741455 73.572731
    Unten rechts KachelX + 1 123333 KachelY + 1 25159 2.77060899 1.28408640 158.744202 73.572731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28409995-1.28408640) × R
    1.35500000000288e-05 × 6371000     		dl = 86.3270500001836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28409995-1.28408640) × R
    1.35500000000288e-05 × 6371000     		dr = 86.3270500001836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77056105-2.77060899) × cos(1.28409995) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282784993730534 × 6371000     		do = 86.3698159709871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77056105-2.77060899) × cos(1.28408640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282797990638602 × 6371000     		du = 86.3737855612514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28409995)-sin(1.28408640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282784993730534-0.282797990638602)×R²
    abs(2.77060899-2.77056105)×1.29969080677195e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.29969080677195e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.29969080677195e-05×40589641000000     		ar = 7456.22276350316m²