Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123330 / 25161
↖ ↑ ↗
← N 73.571177°
E158.735962°		 ← 86.36 m → N 73.571177°
E158.738708°		 →
↑
86.39 m
↓
↑
86.39 m
↓
N 73.570400°
E158.735962°		 ← 86.37 m →
7 461 m²		 N 73.570400°
E158.738708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940937042236328 y=0.191967010498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940937042236328 × 217)
    floor (0.940937042236328 × 131072)
    floor (123330.5)     		tx = 123330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191967010498047 × 217)
    floor (0.191967010498047 × 131072)
    floor (25161.5)     		ty = 25161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123330 / 25161 ti = "17/123330/25161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123330/25161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123330 ÷ 217
    123330 ÷ 131072     		x = 0.940933227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25161 ÷ 217
    25161 ÷ 131072     		y = 0.191963195800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940933227539062 × 2 - 1) × π
    0.881866455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.77046518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191963195800781 × 2 - 1) × π
    0.616073608398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.93545232215977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77046518} λ = 2.77046518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93545232215977))-π/2
    2×atan(6.9271766623601)-π/2
    2×1.42742780448256-π/2
    2.85485560896512-1.57079632675     		φ = 1.28405928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77046518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.735962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28405928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.571177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123330 KachelY 25161 2.77046518 1.28405928 158.735962 73.571177
    Oben rechts KachelX + 1 123331 KachelY 25161 2.77051311 1.28405928 158.738708 73.571177
    Unten links KachelX 123330 KachelY + 1 25162 2.77046518 1.28404572 158.735962 73.570400
    Unten rechts KachelX + 1 123331 KachelY + 1 25162 2.77051311 1.28404572 158.738708 73.570400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28405928-1.28404572) × R
    1.3559999999968e-05 × 6371000     		dl = 86.3907599997964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28405928-1.28404572) × R
    1.3559999999968e-05 × 6371000     		dr = 86.3907599997964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77046518-2.77051311) × cos(1.28405928) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.282824003482404 × 6371000     		do = 86.3637118361669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77046518-2.77051311) × cos(1.28404572) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.282837009826301 × 6371000     		du = 86.367683479742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28405928)-sin(1.28404572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282824003482404-0.282837009826301)×R²
    abs(2.77051311-2.77046518)×1.30063438964489e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.30063438964489e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.30063438964489e-05×40589641000000     		ar = 7461.19825861836m²