Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123327 / 25150
↖ ↑ ↗
← N 73.579720°
E158.727722°		 ← 86.32 m → N 73.579720°
E158.730469°		 →
↑
86.33 m
↓
↑
86.33 m
↓
N 73.578944°
E158.727722°		 ← 86.32 m →
7 452 m²		 N 73.578944°
E158.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940914154052734 y=0.191883087158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940914154052734 × 217)
    floor (0.940914154052734 × 131072)
    floor (123327.5)     		tx = 123327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191883087158203 × 217)
    floor (0.191883087158203 × 131072)
    floor (25150.5)     		ty = 25150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123327 / 25150 ti = "17/123327/25150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123327/25150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123327 ÷ 217
    123327 ÷ 131072     		x = 0.940910339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25150 ÷ 217
    25150 ÷ 131072     		y = 0.191879272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940910339355469 × 2 - 1) × π
    0.881820678710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.77032137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191879272460938 × 2 - 1) × π
    0.616241455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93597962805559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77032137} λ = 2.77032137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93597962805559))-π/2
    2×atan(6.93083036668081)-π/2
    2×1.42750235300994-π/2
    2.85500470601988-1.57079632675     		φ = 1.28420838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77032137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.727722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28420838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.579720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123327 KachelY 25150 2.77032137 1.28420838 158.727722 73.579720
    Oben rechts KachelX + 1 123328 KachelY 25150 2.77036930 1.28420838 158.730469 73.579720
    Unten links KachelX 123327 KachelY + 1 25151 2.77032137 1.28419483 158.727722 73.578944
    Unten rechts KachelX + 1 123328 KachelY + 1 25151 2.77036930 1.28419483 158.730469 73.578944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28420838-1.28419483) × R
    1.35500000000288e-05 × 6371000     		dl = 86.3270500001836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28420838-1.28419483) × R
    1.35500000000288e-05 × 6371000     		dr = 86.3270500001836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77032137-2.77036930) × cos(1.28420838) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.282680987820653 × 6371000     		do = 86.3200402833728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77032137-2.77036930) × cos(1.28419483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.282693985144129 × 6371000     		du = 86.324009172454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28420838)-sin(1.28419483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282680987820653-0.282693985144129)×R²
    abs(2.77036930-2.77032137)×1.29973234759828e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.29973234759828e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.29973234759828e-05×40589641000000     		ar = 7451.92574499145m²