Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123326 / 25159
↖ ↑ ↗
← N 73.572731°
E158.724976°		 ← 86.37 m → N 73.572731°
E158.727722°		 →
↑
86.39 m
↓
↑
86.39 m
↓
N 73.571954°
E158.724976°		 ← 86.38 m →
7 462 m²		 N 73.571954°
E158.727722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940906524658203 y=0.191951751708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940906524658203 × 217)
    floor (0.940906524658203 × 131072)
    floor (123326.5)     		tx = 123326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191951751708984 × 217)
    floor (0.191951751708984 × 131072)
    floor (25159.5)     		ty = 25159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123326 / 25159 ti = "17/123326/25159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123326/25159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123326 ÷ 217
    123326 ÷ 131072     		x = 0.940902709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25159 ÷ 217
    25159 ÷ 131072     		y = 0.191947937011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940902709960938 × 2 - 1) × π
    0.881805419921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.77027343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191947937011719 × 2 - 1) × π
    0.616104125976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.93554819595901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77027343} λ = 2.77027343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93554819595901))-π/2
    2×atan(6.9278408289423)-π/2
    2×1.42744136156496-π/2
    2.85488272312993-1.57079632675     		φ = 1.28408640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77027343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.724976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28408640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.572731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123326 KachelY 25159 2.77027343 1.28408640 158.724976 73.572731
    Oben rechts KachelX + 1 123327 KachelY 25159 2.77032137 1.28408640 158.727722 73.572731
    Unten links KachelX 123326 KachelY + 1 25160 2.77027343 1.28407284 158.724976 73.571954
    Unten rechts KachelX + 1 123327 KachelY + 1 25160 2.77032137 1.28407284 158.727722 73.571954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28408640-1.28407284) × R
    1.3559999999968e-05 × 6371000     		dl = 86.3907599997964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28408640-1.28407284) × R
    1.3559999999968e-05 × 6371000     		dr = 86.3907599997964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77027343-2.77032137) × cos(1.28408640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282797990638602 × 6371000     		do = 86.3737855612514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77027343-2.77032137) × cos(1.28407284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282810997086504 × 6371000     		du = 86.3777580652266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28408640)-sin(1.28407284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282797990638602-0.282810997086504)×R²
    abs(2.77032137-2.77027343)×1.30064479017533e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30064479017533e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30064479017533e-05×40589641000000     		ar = 7462.06857266409m²