Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123325 / 25157
↖ ↑ ↗
← N 73.574285°
E158.722229°		 ← 86.37 m → N 73.574285°
E158.724976°		 →
↑
86.39 m
↓
↑
86.39 m
↓
N 73.573508°
E158.722229°		 ← 86.37 m →
7 461 m²		 N 73.573508°
E158.724976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940898895263672 y=0.191936492919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940898895263672 × 217)
    floor (0.940898895263672 × 131072)
    floor (123325.5)     		tx = 123325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191936492919922 × 217)
    floor (0.191936492919922 × 131072)
    floor (25157.5)     		ty = 25157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123325 / 25157 ti = "17/123325/25157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123325/25157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123325 ÷ 217
    123325 ÷ 131072     		x = 0.940895080566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25157 ÷ 217
    25157 ÷ 131072     		y = 0.191932678222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940895080566406 × 2 - 1) × π
    0.881790161132812 × 3.1415926535     		Λ = 2.77022549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191932678222656 × 2 - 1) × π
    0.616134643554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.93564406975825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77022549} λ = 2.77022549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93564406975825))-π/2
    2×atan(6.92850505920373)-π/2
    2×1.42745491740071-π/2
    2.85490983480142-1.57079632675     		φ = 1.28411351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77022549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.722229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28411351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.574285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123325 KachelY 25157 2.77022549 1.28411351 158.722229 73.574285
    Oben rechts KachelX + 1 123326 KachelY 25157 2.77027343 1.28411351 158.724976 73.574285
    Unten links KachelX 123325 KachelY + 1 25158 2.77022549 1.28409995 158.722229 73.573508
    Unten rechts KachelX + 1 123326 KachelY + 1 25158 2.77027343 1.28409995 158.724976 73.573508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28411351-1.28409995) × R
    1.3559999999968e-05 × 6371000     		dl = 86.3907599997964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28411351-1.28409995) × R
    1.3559999999968e-05 × 6371000     		dr = 86.3907599997964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77022549-2.77027343) × cos(1.28411351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282771987178675 × 6371000     		do = 86.3658434352607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77022549-2.77027343) × cos(1.28409995) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.282784993730534 × 6371000     		du = 86.3698159709871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28411351)-sin(1.28409995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282771987178675-0.282784993730534)×R²
    abs(2.77027343-2.77022549)×1.30065518592071e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30065518592071e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30065518592071e-05×40589641000000     		ar = 7461.38244760734m²