Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123321 / 25207
↖ ↑ ↗
← N 73.535407°
E158.711242°		 ← 86.56 m → N 73.535407°
E158.713989°		 →
↑
86.58 m
↓
↑
86.58 m
↓
N 73.534628°
E158.711242°		 ← 86.57 m →
7 495 m²		 N 73.534628°
E158.713989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940868377685547 y=0.192317962646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940868377685547 × 217)
    floor (0.940868377685547 × 131072)
    floor (123321.5)     		tx = 123321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192317962646484 × 217)
    floor (0.192317962646484 × 131072)
    floor (25207.5)     		ty = 25207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123321 / 25207 ti = "17/123321/25207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123321/25207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123321 ÷ 217
    123321 ÷ 131072     		x = 0.940864562988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25207 ÷ 217
    25207 ÷ 131072     		y = 0.192314147949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940864562988281 × 2 - 1) × π
    0.881729125976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.77003374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192314147949219 × 2 - 1) × π
    0.615371704101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.93324722477724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77003374} λ = 2.77003374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93324722477724))-π/2
    2×atan(6.91191839240195)-π/2
    2×1.42711564726982-π/2
    2.85423129453964-1.57079632675     		φ = 1.28343497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77003374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.711242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28343497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.535407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123321 KachelY 25207 2.77003374 1.28343497 158.711242 73.535407
    Oben rechts KachelX + 1 123322 KachelY 25207 2.77008168 1.28343497 158.713989 73.535407
    Unten links KachelX 123321 KachelY + 1 25208 2.77003374 1.28342138 158.711242 73.534628
    Unten rechts KachelX + 1 123322 KachelY + 1 25208 2.77008168 1.28342138 158.713989 73.534628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28343497-1.28342138) × R
    1.35900000000078e-05 × 6371000     		dl = 86.5818900000495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28343497-1.28342138) × R
    1.35900000000078e-05 × 6371000     		dr = 86.5818900000495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77003374-2.77008168) × cos(1.28343497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.28342276888619 × 6371000     		do = 86.5646089198567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77003374-2.77008168) × cos(1.28342138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.283435801602946 × 6371000     		du = 86.5685894470162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28343497)-sin(1.28342138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28342276888619-0.283435801602946)×R²
    abs(2.77008168-2.77003374)×1.30327167561783e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30327167561783e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30327167561783e-05×40589641000000     		ar = 7495.09976809357m²