Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123320 / 25200
↖ ↑ ↗
← N 73.540855°
E158.708496°		 ← 86.52 m → N 73.540855°
E158.711242°		 →
↑
86.52 m
↓
↑
86.52 m
↓
N 73.540077°
E158.708496°		 ← 86.52 m →
7 486 m²		 N 73.540077°
E158.711242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940860748291016 y=0.192264556884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940860748291016 × 217)
    floor (0.940860748291016 × 131072)
    floor (123320.5)     		tx = 123320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192264556884766 × 217)
    floor (0.192264556884766 × 131072)
    floor (25200.5)     		ty = 25200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123320 / 25200 ti = "17/123320/25200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123320/25200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123320 ÷ 217
    123320 ÷ 131072     		x = 0.94085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25200 ÷ 217
    25200 ÷ 131072     		y = 0.1922607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94085693359375 × 2 - 1) × π
    0.8817138671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76998581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1922607421875 × 2 - 1) × π
    0.615478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93358278307459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76998581} λ = 2.76998581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93358278307459))-π/2
    2×atan(6.91423813315142)-π/2
    2×1.42716319205065-π/2
    2.85432638410131-1.57079632675     		φ = 1.28353006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76998581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.708496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28353006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.540855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123320 KachelY 25200 2.76998581 1.28353006 158.708496 73.540855
    Oben rechts KachelX + 1 123321 KachelY 25200 2.77003374 1.28353006 158.711242 73.540855
    Unten links KachelX 123320 KachelY + 1 25201 2.76998581 1.28351648 158.708496 73.540077
    Unten rechts KachelX + 1 123321 KachelY + 1 25201 2.77003374 1.28351648 158.711242 73.540077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28353006-1.28351648) × R
    1.35799999998465e-05 × 6371000     		dl = 86.518179999022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28353006-1.28351648) × R
    1.35799999998465e-05 × 6371000     		dr = 86.518179999022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76998581-2.77003374) × cos(1.28353006) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.283331576764258 × 6371000     		do = 86.5187054438875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76998581-2.77003374) × cos(1.28351648) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.283344600257041 × 6371000     		du = 86.5226823240815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28353006)-sin(1.28351648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283331576764258-0.283344600257041)×R²
    abs(2.77003374-2.76998581)×1.30234927834816e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.30234927834816e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.30234927834816e-05×40589641000000     		ar = 7485.61296714547m²