Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12332 / 20535
↖ ↑ ↗
← S 41.434490°
W 44.516602°		 ← 915.88 m → S 41.434490°
W 44.505615°		 →
↑
915.83 m
↓
↑
915.83 m
↓
S 41.442727°
W 44.516602°		 ← 915.76 m →
838 737 m²		 S 41.442727°
W 44.505615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376358032226562 y=0.626693725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376358032226562 × 215)
    floor (0.376358032226562 × 32768)
    floor (12332.5)     		tx = 12332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626693725585938 × 215)
    floor (0.626693725585938 × 32768)
    floor (20535.5)     		ty = 20535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12332 / 20535 ti = "15/12332/20535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12332/20535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12332 ÷ 215
    12332 ÷ 32768     		x = 0.3763427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20535 ÷ 215
    20535 ÷ 32768     		y = 0.626678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.247314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77696127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.25335693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.795944281291412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77696127} λ = -0.77696127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795944281291412))-π/2
    2×atan(0.451155016477624)-π/2
    2×0.423814023517553-π/2
    0.847628047035106-1.57079632675     		φ = -0.72316828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77696127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.516602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72316828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.434490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12332 KachelY 20535 -0.77696127 -0.72316828 -44.516602 -41.434490
    Oben rechts KachelX + 1 12333 KachelY 20535 -0.77676952 -0.72316828 -44.505615 -41.434490
    Unten links KachelX 12332 KachelY + 1 20536 -0.77696127 -0.72331203 -44.516602 -41.442727
    Unten rechts KachelX + 1 12333 KachelY + 1 20536 -0.77676952 -0.72331203 -44.505615 -41.442727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72316828--0.72331203) × R
    0.000143749999999998 × 6371000     		dl = 915.831249999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72316828--0.72331203) × R
    0.000143749999999998 × 6371000     		dr = 915.831249999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77696127--0.77676952) × cos(-0.72316828) × R
    0.000191750000000046 × 0.749712844058363 × 6371000     		do = 915.878636531045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77696127--0.77676952) × cos(-0.72331203) × R
    0.000191750000000046 × 0.749617707839755 × 6371000     		du = 915.762414392297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72316828)-sin(-0.72331203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749712844058363-0.749617707839755)×R²
    abs(-0.77676952--0.77696127)×9.51362186079052e-05×R²
    0.000191750000000046×9.51362186079052e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.51362186079052e-05×40589641000000     		ar = 838737.058053703m²