Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12332 / 20533
↖ ↑ ↗
← S 41.418015°
W 44.516602°		 ← 916.11 m → S 41.418015°
W 44.505615°		 →
↑
916.02 m
↓
↑
916.02 m
↓
S 41.426253°
W 44.516602°		 ← 915.99 m →
839 125 m²		 S 41.426253°
W 44.505615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376358032226562 y=0.626632690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376358032226562 × 215)
    floor (0.376358032226562 × 32768)
    floor (12332.5)     		tx = 12332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626632690429688 × 215)
    floor (0.626632690429688 × 32768)
    floor (20533.5)     		ty = 20533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12332 / 20533 ti = "15/12332/20533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12332/20533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12332 ÷ 215
    12332 ÷ 32768     		x = 0.3763427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20533 ÷ 215
    20533 ÷ 32768     		y = 0.626617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.247314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77696127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.25323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.795560786094452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77696127} λ = -0.77696127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795560786094452))-π/2
    2×atan(0.45132806543913)-π/2
    2×0.423957797395915-π/2
    0.84791559479183-1.57079632675     		φ = -0.72288073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77696127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.516602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72288073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.418015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12332 KachelY 20533 -0.77696127 -0.72288073 -44.516602 -41.418015
    Oben rechts KachelX + 1 12333 KachelY 20533 -0.77676952 -0.72288073 -44.505615 -41.418015
    Unten links KachelX 12332 KachelY + 1 20534 -0.77696127 -0.72302451 -44.516602 -41.426253
    Unten rechts KachelX + 1 12333 KachelY + 1 20534 -0.77676952 -0.72302451 -44.505615 -41.426253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72288073--0.72302451) × R
    0.000143780000000038 × 6371000     		dl = 916.022380000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72288073--0.72302451) × R
    0.000143780000000038 × 6371000     		dr = 916.022380000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77696127--0.77676952) × cos(-0.72288073) × R
    0.000191750000000046 × 0.749903103094659 × 6371000     		do = 916.111064437452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77696127--0.77676952) × cos(-0.72302451) × R
    0.000191750000000046 × 0.749807978017968 × 6371000     		du = 915.994855910107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72288073)-sin(-0.72302451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749903103094659-0.749807978017968)×R²
    abs(-0.77676952--0.77696127)×9.51250766914047e-05×R²
    0.000191750000000046×9.51250766914047e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.51250766914047e-05×40589641000000     		ar = 839125.014230554m²