Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123315 / 25203
N 73.538521°
E158.694763°
← 86.55 m → N 73.538521°
E158.697510°

86.58 m

86.58 m
N 73.537742°
E158.694763°
← 86.55 m →
7 494 m²
N 73.537742°
E158.697510°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940822601318359 y=0.192287445068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940822601318359 × 217)
    floor (0.940822601318359 × 131072)
    floor (123315.5)
    tx = 123315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192287445068359 × 217)
    floor (0.192287445068359 × 131072)
    floor (25203.5)
    ty = 25203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123315 / 25203 ti = "17/123315/25203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123315/25203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123315 ÷ 217
    123315 ÷ 131072
    x = 0.940818786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25203 ÷ 217
    25203 ÷ 131072
    y = 0.192283630371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.940818786621094 × 2 - 1) × π
    0.881637573242188 × 3.1415926535
    Λ = 2.76974612
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.192283630371094 × 2 - 1) × π
    0.615432739257812 × 3.1415926535
    Φ = 1.93343897237572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76974612} λ = 2.76974612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93343897237572))-π/2
    2×atan(6.91324386322844)-π/2
    2×1.42714281758948-π/2
    2.85428563517895-1.57079632675
    φ = 1.28348931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76974612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.694763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28348931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.538521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123315 KachelY 25203 2.76974612 1.28348931 158.694763 73.538521
    Oben rechts KachelX + 1 123316 KachelY 25203 2.76979406 1.28348931 158.697510 73.538521
    Unten links KachelX 123315 KachelY + 1 25204 2.76974612 1.28347572 158.694763 73.537742
    Unten rechts KachelX + 1 123316 KachelY + 1 25204 2.76979406 1.28347572 158.697510 73.537742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.28348931-1.28347572) × R
    1.35900000000078e-05 × 6371000
    dl = 86.5818900000495m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.28348931-1.28347572) × R
    1.35900000000078e-05 × 6371000
    dr = 86.5818900000495m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.76974612-2.76979406) × cos(1.28348931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.283370656675951 × 6371000
    do = 86.5486925094814m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.76974612-2.76979406) × cos(1.28347572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.283383689601994 × 6371000
    du = 86.5526731005627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.28348931)-sin(1.28347572))×
    abs(λ12)×abs(0.283370656675951-0.283383689601994)×
    abs(2.76979406-2.76974612)×1.30329260439321e-05×
    4.79399999999686e-05×1.30329260439321e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30329260439321e-05×40589641000000
    ar = 7493.72169800584m²