Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123314 / 25202
↖ ↑ ↗
← N 73.539299°
E158.692017°		 ← 86.53 m → N 73.539299°
E158.694763°		 →
↑
86.52 m
↓
↑
86.52 m
↓
N 73.538521°
E158.692017°		 ← 86.53 m →
7 486 m²		 N 73.538521°
E158.694763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940814971923828 y=0.192279815673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940814971923828 × 217)
    floor (0.940814971923828 × 131072)
    floor (123314.5)     		tx = 123314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192279815673828 × 217)
    floor (0.192279815673828 × 131072)
    floor (25202.5)     		ty = 25202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123314 / 25202 ti = "17/123314/25202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123314/25202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123314 ÷ 217
    123314 ÷ 131072     		x = 0.940811157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25202 ÷ 217
    25202 ÷ 131072     		y = 0.192276000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940811157226562 × 2 - 1) × π
    0.881622314453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.76969819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192276000976562 × 2 - 1) × π
    0.615447998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93348690927534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76969819} λ = 2.76969819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93348690927534))-π/2
    2×atan(6.91357527064882)-π/2
    2×1.42714960938876-π/2
    2.85429921877752-1.57079632675     		φ = 1.28350289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76969819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.692017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28350289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.539299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123314 KachelY 25202 2.76969819 1.28350289 158.692017 73.539299
    Oben rechts KachelX + 1 123315 KachelY 25202 2.76974612 1.28350289 158.694763 73.539299
    Unten links KachelX 123314 KachelY + 1 25203 2.76969819 1.28348931 158.692017 73.538521
    Unten rechts KachelX + 1 123315 KachelY + 1 25203 2.76974612 1.28348931 158.694763 73.538521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28350289-1.28348931) × R
    1.35800000000685e-05 × 6371000     		dl = 86.5181800004366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28350289-1.28348931) × R
    1.35800000000685e-05 × 6371000     		dr = 86.5181800004366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76969819-2.76974612) × cos(1.28350289) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.283357633287714 × 6371000     		do = 86.526662116785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76969819-2.76974612) × cos(1.28348931) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.283370656675951 × 6371000     		du = 86.5306389650543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28350289)-sin(1.28348931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283357633287714-0.283370656675951)×R²
    abs(2.76974612-2.76969819)×1.30233882360553e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.30233882360553e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.30233882360553e-05×40589641000000     		ar = 7486.30136298053m²