Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12331 / 20089
↖ ↑ ↗
← S 37.657732°
W 44.527588°		 ← 967.14 m → S 37.657732°
W 44.516602°		 →
↑
967.12 m
↓
↑
967.12 m
↓
S 37.666429°
W 44.527588°		 ← 967.03 m →
935 284 m²		 S 37.666429°
W 44.516602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376327514648438 y=0.613082885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376327514648438 × 215)
    floor (0.376327514648438 × 32768)
    floor (12331.5)     		tx = 12331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613082885742188 × 215)
    floor (0.613082885742188 × 32768)
    floor (20089.5)     		ty = 20089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12331 / 20089 ti = "15/12331/20089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12331/20089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12331 ÷ 215
    12331 ÷ 32768     		x = 0.376312255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20089 ÷ 215
    20089 ÷ 32768     		y = 0.613067626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376312255859375 × 2 - 1) × π
    -0.24737548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77715302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613067626953125 × 2 - 1) × π
    -0.22613525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.710424852369232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77715302} λ = -0.77715302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.710424852369232))-π/2
    2×atan(0.491435365623346)-π/2
    2×0.456772456186647-π/2
    0.913544912373293-1.57079632675     		φ = -0.65725141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77715302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.527588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65725141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.657732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12331 KachelY 20089 -0.77715302 -0.65725141 -44.527588 -37.657732
    Oben rechts KachelX + 1 12332 KachelY 20089 -0.77696127 -0.65725141 -44.516602 -37.657732
    Unten links KachelX 12331 KachelY + 1 20090 -0.77715302 -0.65740321 -44.527588 -37.666429
    Unten rechts KachelX + 1 12332 KachelY + 1 20090 -0.77696127 -0.65740321 -44.516602 -37.666429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65725141--0.65740321) × R
    0.000151800000000035 × 6371000     		dl = 967.117800000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65725141--0.65740321) × R
    0.000151800000000035 × 6371000     		dr = 967.117800000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77715302--0.77696127) × cos(-0.65725141) × R
    0.000191749999999935 × 0.791674452129809 × 6371000     		do = 967.140583943693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77715302--0.77696127) × cos(-0.65740321) × R
    0.000191749999999935 × 0.791581701834982 × 6371000     		du = 967.027276543083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65725141)-sin(-0.65740321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791674452129809-0.791581701834982)×R²
    abs(-0.77696127--0.77715302)×9.27502948276926e-05×R²
    0.000191749999999935×9.27502948276926e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.27502948276926e-05×40589641000000     		ar = 935284.08482859m²