Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12329 / 14697
↖ ↑ ↗
← N 18.218916°
W 44.549560°		 ← 1 160.40 m → N 18.218916°
W 44.538574°		 →
↑
1 160.41 m
↓
↑
1 160.41 m
↓
N 18.208480°
W 44.549560°		 ← 1 160.47 m →
1 346 581 m²		 N 18.208480°
W 44.538574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376266479492188 y=0.448532104492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376266479492188 × 215)
    floor (0.376266479492188 × 32768)
    floor (12329.5)     		tx = 12329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448532104492188 × 215)
    floor (0.448532104492188 × 32768)
    floor (14697.5)     		ty = 14697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12329 / 14697 ti = "15/12329/14697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12329/14697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12329 ÷ 215
    12329 ÷ 32768     		x = 0.376251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14697 ÷ 215
    14697 ÷ 32768     		y = 0.448516845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.24749755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77753651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448516845703125 × 2 - 1) × π
    0.10296630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.323478198636139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77753651} λ = -0.77753651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.323478198636139))-π/2
    2×atan(1.38192602806745)-π/2
    2×0.944388199263479-π/2
    1.88877639852696-1.57079632675     		φ = 0.31798007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77753651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.549560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31798007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.218916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12329 KachelY 14697 -0.77753651 0.31798007 -44.549560 18.218916
    Oben rechts KachelX + 1 12330 KachelY 14697 -0.77734476 0.31798007 -44.538574 18.218916
    Unten links KachelX 12329 KachelY + 1 14698 -0.77753651 0.31779793 -44.549560 18.208480
    Unten rechts KachelX + 1 12330 KachelY + 1 14698 -0.77734476 0.31779793 -44.538574 18.208480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31798007-0.31779793) × R
    0.000182139999999997 × 6371000     		dl = 1160.41393999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31798007-0.31779793) × R
    0.000182139999999997 × 6371000     		dr = 1160.41393999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77753651--0.77734476) × cos(0.31798007) × R
    0.000191750000000046 × 0.949868883587918 × 6371000     		do = 1160.39711054496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77753651--0.77734476) × cos(0.31779793) × R
    0.000191750000000046 × 0.949925813635115 × 6371000     		du = 1160.46665852512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31798007)-sin(0.31779793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949868883587918-0.949925813635115)×R²
    abs(-0.77734476--0.77753651)×5.69300471970902e-05×R²
    0.000191750000000046×5.69300471970902e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.69300471970902e-05×40589641000000     		ar = 1346581.3389578m²