Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12328 / 14698
↖ ↑ ↗
← N 18.208480°
W 44.560547°		 ← 1 160.47 m → N 18.208480°
W 44.549560°		 →
↑
1 160.48 m
↓
↑
1 160.48 m
↓
N 18.198044°
W 44.560547°		 ← 1 160.54 m →
1 346 736 m²		 N 18.198044°
W 44.549560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376235961914062 y=0.448562622070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376235961914062 × 215)
    floor (0.376235961914062 × 32768)
    floor (12328.5)     		tx = 12328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448562622070312 × 215)
    floor (0.448562622070312 × 32768)
    floor (14698.5)     		ty = 14698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12328 / 14698 ti = "15/12328/14698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12328/14698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12328 ÷ 215
    12328 ÷ 32768     		x = 0.376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14698 ÷ 215
    14698 ÷ 32768     		y = 0.44854736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.24755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77772826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44854736328125 × 2 - 1) × π
    0.1029052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.323286451037659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77772826} λ = -0.77772826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.323286451037659))-π/2
    2×atan(1.3816610724734)-π/2
    2×0.944297128995599-π/2
    1.8885942579912-1.57079632675     		φ = 0.31779793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77772826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31779793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.208480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12328 KachelY 14698 -0.77772826 0.31779793 -44.560547 18.208480
    Oben rechts KachelX + 1 12329 KachelY 14698 -0.77753651 0.31779793 -44.549560 18.208480
    Unten links KachelX 12328 KachelY + 1 14699 -0.77772826 0.31761578 -44.560547 18.198044
    Unten rechts KachelX + 1 12329 KachelY + 1 14699 -0.77753651 0.31761578 -44.549560 18.198044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31779793-0.31761578) × R
    0.000182149999999992 × 6371000     		dl = 1160.47764999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31779793-0.31761578) × R
    0.000182149999999992 × 6371000     		dr = 1160.47764999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77772826--0.77753651) × cos(0.31779793) × R
    0.000191749999999935 × 0.949925813635115 × 6371000     		do = 1160.46665852445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77772826--0.77753651) × cos(0.31761578) × R
    0.000191749999999935 × 0.949982715291568 × 6371000     		du = 1160.53617182136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31779793)-sin(0.31761578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949925813635115-0.949982715291568)×R²
    abs(-0.77753651--0.77772826)×5.69016564526681e-05×R²
    0.000191749999999935×5.69016564526681e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.69016564526681e-05×40589641000000     		ar = 1346735.95882494m²