Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12327 / 20065
↖ ↑ ↗
← S 37.448697°
W 44.571533°		 ← 969.86 m → S 37.448697°
W 44.560547°		 →
↑
969.79 m
↓
↑
969.79 m
↓
S 37.457418°
W 44.571533°		 ← 969.74 m →
940 506 m²		 S 37.457418°
W 44.560547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376205444335938 y=0.612350463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376205444335938 × 215)
    floor (0.376205444335938 × 32768)
    floor (12327.5)     		tx = 12327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612350463867188 × 215)
    floor (0.612350463867188 × 32768)
    floor (20065.5)     		ty = 20065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12327 / 20065 ti = "15/12327/20065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12327/20065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12327 ÷ 215
    12327 ÷ 32768     		x = 0.376190185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20065 ÷ 215
    20065 ÷ 32768     		y = 0.612335205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376190185546875 × 2 - 1) × π
    -0.24761962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77792001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612335205078125 × 2 - 1) × π
    -0.22467041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.705822910005707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77792001} λ = -0.77792001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.705822910005707))-π/2
    2×atan(0.493702134621038)-π/2
    2×0.458596635403208-π/2
    0.917193270806417-1.57079632675     		φ = -0.65360306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77792001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.571533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65360306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.448697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12327 KachelY 20065 -0.77792001 -0.65360306 -44.571533 -37.448697
    Oben rechts KachelX + 1 12328 KachelY 20065 -0.77772826 -0.65360306 -44.560547 -37.448697
    Unten links KachelX 12327 KachelY + 1 20066 -0.77792001 -0.65375528 -44.571533 -37.457418
    Unten rechts KachelX + 1 12328 KachelY + 1 20066 -0.77772826 -0.65375528 -44.560547 -37.457418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65360306--0.65375528) × R
    0.000152220000000036 × 6371000     		dl = 969.793620000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65360306--0.65375528) × R
    0.000152220000000036 × 6371000     		dr = 969.793620000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77792001--0.77772826) × cos(-0.65360306) × R
    0.000191750000000046 × 0.793898112945131 × 6371000     		do = 969.857095274938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77792001--0.77772826) × cos(-0.65375528) × R
    0.000191750000000046 × 0.793805546253672 × 6371000     		du = 969.744012171409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65360306)-sin(-0.65375528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793898112945131-0.793805546253672)×R²
    abs(-0.77772826--0.77792001)×9.25666914587397e-05×R²
    0.000191750000000046×9.25666914587397e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.25666914587397e-05×40589641000000     		ar = 940506.391489519m²