Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12327 / 12895
↖ ↑ ↗
← S 71.293747°
E 90.856934°		 ← 783.58 m → S 71.293747°
E 90.878906°		 →
↑
783.51 m
↓
↑
783.51 m
↓
S 71.300793°
E 90.856934°		 ← 783.29 m →
613 827 m²		 S 71.300793°
E 90.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752410888671875 y=0.787078857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752410888671875 × 214)
    floor (0.752410888671875 × 16384)
    floor (12327.5)     		tx = 12327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787078857421875 × 214)
    floor (0.787078857421875 × 16384)
    floor (12895.5)     		ty = 12895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12327 / 12895 ti = "14/12327/12895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12327/12895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12327 ÷ 214
    12327 ÷ 16384     		x = 0.75238037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12895 ÷ 214
    12895 ÷ 16384     		y = 0.78704833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75238037109375 × 2 - 1) × π
    0.5047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.58575264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78704833984375 × 2 - 1) × π
    -0.5740966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80357791130499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58575264} λ = 1.58575264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80357791130499))-π/2
    2×atan(0.164708520232664)-π/2
    2×0.163242850993021-π/2
    0.326485701986043-1.57079632675     		φ = -1.24431062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58575264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.856934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24431062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.293747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12327 KachelY 12895 1.58575264 -1.24431062 90.856934 -71.293747
    Oben rechts KachelX + 1 12328 KachelY 12895 1.58613613 -1.24431062 90.878906 -71.293747
    Unten links KachelX 12327 KachelY + 1 12896 1.58575264 -1.24443360 90.856934 -71.300793
    Unten rechts KachelX + 1 12328 KachelY + 1 12896 1.58613613 -1.24443360 90.878906 -71.300793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24431062--1.24443360) × R
    0.000122979999999995 × 6371000     		dl = 783.505579999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24431062--1.24443360) × R
    0.000122979999999995 × 6371000     		dr = 783.505579999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58575264-1.58613613) × cos(-1.24431062) × R
    0.000383490000000153 × 0.320716364053447 × 6371000     		do = 783.578964050718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58575264-1.58613613) × cos(-1.24443360) × R
    0.000383490000000153 × 0.320599878012355 × 6371000     		du = 783.294363632295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24431062)-sin(-1.24443360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320716364053447-0.320599878012355)×R²
    abs(1.58613613-1.58575264)×0.000116486041091601×R²
    0.000383490000000153×0.000116486041091601×6371000²
    0.000383490000000153×0.000116486041091601×40589641000000     		ar = 613826.998470768m²