Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12325 / 20074
↖ ↑ ↗
← S 37.527154°
W 44.593506°		 ← 968.84 m → S 37.527154°
W 44.582519°		 →
↑
968.77 m
↓
↑
968.77 m
↓
S 37.535866°
W 44.593506°		 ← 968.73 m →
938 531 m²		 S 37.535866°
W 44.582519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376144409179688 y=0.612625122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376144409179688 × 215)
    floor (0.376144409179688 × 32768)
    floor (12325.5)     		tx = 12325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612625122070312 × 215)
    floor (0.612625122070312 × 32768)
    floor (20074.5)     		ty = 20074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12325 / 20074 ti = "15/12325/20074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12325/20074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12325 ÷ 215
    12325 ÷ 32768     		x = 0.376129150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20074 ÷ 215
    20074 ÷ 32768     		y = 0.61260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.376129150390625 × 2 - 1) × π
    -0.24774169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77830350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61260986328125 × 2 - 1) × π
    -0.2252197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.707548638392029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77830350} λ = -0.77830350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.707548638392029))-π/2
    2×atan(0.492850873566882)-π/2
    2×0.457911968644253-π/2
    0.915823937288506-1.57079632675     		φ = -0.65497239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77830350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.593506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65497239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.527154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12325 KachelY 20074 -0.77830350 -0.65497239 -44.593506 -37.527154
    Oben rechts KachelX + 1 12326 KachelY 20074 -0.77811175 -0.65497239 -44.582519 -37.527154
    Unten links KachelX 12325 KachelY + 1 20075 -0.77830350 -0.65512445 -44.593506 -37.535866
    Unten rechts KachelX + 1 12326 KachelY + 1 20075 -0.77811175 -0.65512445 -44.582519 -37.535866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65497239--0.65512445) × R
    0.000152060000000009 × 6371000     		dl = 968.77426000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65497239--0.65512445) × R
    0.000152060000000009 × 6371000     		dr = 968.77426000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77830350--0.77811175) × cos(-0.65497239) × R
    0.000191750000000046 × 0.793064746686091 × 6371000     		do = 968.839022343268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77830350--0.77811175) × cos(-0.65512445) × R
    0.000191750000000046 × 0.792972112092738 × 6371000     		du = 968.725856288121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65497239)-sin(-0.65512445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.793064746686091-0.792972112092738)×R²
    abs(-0.77811175--0.77830350)×9.26345933526251e-05×R²
    0.000191750000000046×9.26345933526251e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.26345933526251e-05×40589641000000     		ar = 938531.492557098m²