Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123249 / 25199
↖ ↑ ↗
← N 73.541633°
E158.513489°		 ← 86.51 m → N 73.541633°
E158.516235°		 →
↑
86.52 m
↓
↑
86.52 m
↓
N 73.540855°
E158.513489°		 ← 86.52 m →
7 485 m²		 N 73.540855°
E158.516235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940319061279297 y=0.192256927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940319061279297 × 217)
    floor (0.940319061279297 × 131072)
    floor (123249.5)     		tx = 123249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192256927490234 × 217)
    floor (0.192256927490234 × 131072)
    floor (25199.5)     		ty = 25199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123249 / 25199 ti = "17/123249/25199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123249/25199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123249 ÷ 217
    123249 ÷ 131072     		x = 0.940315246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25199 ÷ 217
    25199 ÷ 131072     		y = 0.192253112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940315246582031 × 2 - 1) × π
    0.880630493164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.76658229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192253112792969 × 2 - 1) × π
    0.615493774414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.93363071997421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76658229} λ = 2.76658229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93363071997421))-π/2
    2×atan(6.91456958823516)-π/2
    2×1.4271699829133-π/2
    2.85433996582659-1.57079632675     		φ = 1.28354364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76658229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.513489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28354364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.541633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123249 KachelY 25199 2.76658229 1.28354364 158.513489 73.541633
    Oben rechts KachelX + 1 123250 KachelY 25199 2.76663022 1.28354364 158.516235 73.541633
    Unten links KachelX 123249 KachelY + 1 25200 2.76658229 1.28353006 158.513489 73.540855
    Unten rechts KachelX + 1 123250 KachelY + 1 25200 2.76663022 1.28353006 158.516235 73.540855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28354364-1.28353006) × R
    1.35800000000685e-05 × 6371000     		dl = 86.5181800004366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28354364-1.28353006) × R
    1.35800000000685e-05 × 6371000     		dr = 86.5181800004366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76658229-2.76663022) × cos(1.28354364) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.283318553219223 × 6371000     		do = 86.5147285477379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76658229-2.76663022) × cos(1.28353006) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.283331576764258 × 6371000     		du = 86.5187054438875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28354364)-sin(1.28353006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283318553219223-0.283331576764258)×R²
    abs(2.76663022-2.76658229)×1.30235450347405e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.30235450347405e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.30235450347405e-05×40589641000000     		ar = 7485.26889417793m²