Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123244 / 25260
↖ ↑ ↗
← N 73.494099°
E158.499756°		 ← 86.78 m → N 73.494099°
E158.502502°		 →
↑
86.77 m
↓
↑
86.77 m
↓
N 73.493319°
E158.499756°		 ← 86.78 m →
7 530 m²		 N 73.493319°
E158.502502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940280914306641 y=0.192722320556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940280914306641 × 217)
    floor (0.940280914306641 × 131072)
    floor (123244.5)     		tx = 123244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192722320556641 × 217)
    floor (0.192722320556641 × 131072)
    floor (25260.5)     		ty = 25260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123244 / 25260 ti = "17/123244/25260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123244/25260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123244 ÷ 217
    123244 ÷ 131072     		x = 0.940277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25260 ÷ 217
    25260 ÷ 131072     		y = 0.192718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940277099609375 × 2 - 1) × π
    0.88055419921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76634260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192718505859375 × 2 - 1) × π
    0.61456298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93070656909738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76634260} λ = 2.76634260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93070656909738))-π/2
    2×atan(6.89437987677837)-π/2
    2×1.4267551684938-π/2
    2.8535103369876-1.57079632675     		φ = 1.28271401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76634260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.499756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28271401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.494099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123244 KachelY 25260 2.76634260 1.28271401 158.499756 73.494099
    Oben rechts KachelX + 1 123245 KachelY 25260 2.76639054 1.28271401 158.502502 73.494099
    Unten links KachelX 123244 KachelY + 1 25261 2.76634260 1.28270039 158.499756 73.493319
    Unten rechts KachelX + 1 123245 KachelY + 1 25261 2.76639054 1.28270039 158.502502 73.493319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28271401-1.28270039) × R
    1.36200000000475e-05 × 6371000     		dl = 86.7730200003025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28271401-1.28270039) × R
    1.36200000000475e-05 × 6371000     		dr = 86.7730200003025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76634260-2.76639054) × cos(1.28271401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284114092248913 × 6371000     		do = 86.7757568694957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76634260-2.76639054) × cos(1.28270039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284127150948884 × 6371000     		du = 86.7797453325978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28271401)-sin(1.28270039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284114092248913-0.284127150948884)×R²
    abs(2.76639054-2.76634260)×1.30586999711468e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30586999711468e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30586999711468e-05×40589641000000     		ar = 7529.9675320009m²