Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123243 / 25179
↖ ↑ ↗
← N 73.557189°
E158.497009°		 ← 86.44 m → N 73.557189°
E158.499756°		 →
↑
86.45 m
↓
↑
86.45 m
↓
N 73.556412°
E158.497009°		 ← 86.44 m →
7 473 m²		 N 73.556412°
E158.499756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940273284912109 y=0.192104339599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940273284912109 × 217)
    floor (0.940273284912109 × 131072)
    floor (123243.5)     		tx = 123243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192104339599609 × 217)
    floor (0.192104339599609 × 131072)
    floor (25179.5)     		ty = 25179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123243 / 25179 ti = "17/123243/25179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123243/25179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123243 ÷ 217
    123243 ÷ 131072     		x = 0.940269470214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25179 ÷ 217
    25179 ÷ 131072     		y = 0.192100524902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940269470214844 × 2 - 1) × π
    0.880538940429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.76629467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192100524902344 × 2 - 1) × π
    0.615798950195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.93458945796661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76629467} λ = 2.76629467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93458945796661))-π/2
    2×atan(6.92120202767831)-π/2
    2×1.42730573462421-π/2
    2.85461146924842-1.57079632675     		φ = 1.28381514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76629467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.497009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28381514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.557189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123243 KachelY 25179 2.76629467 1.28381514 158.497009 73.557189
    Oben rechts KachelX + 1 123244 KachelY 25179 2.76634260 1.28381514 158.499756 73.557189
    Unten links KachelX 123243 KachelY + 1 25180 2.76629467 1.28380157 158.497009 73.556412
    Unten rechts KachelX + 1 123244 KachelY + 1 25180 2.76634260 1.28380157 158.499756 73.556412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28381514-1.28380157) × R
    1.35699999999073e-05 × 6371000     		dl = 86.4544699994092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28381514-1.28380157) × R
    1.35699999999073e-05 × 6371000     		dr = 86.4544699994092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76629467-2.76634260) × cos(1.28381514) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.283058167259796 × 6371000     		do = 86.4352165625839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76629467-2.76634260) × cos(1.28380157) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.283071182257973 × 6371000     		du = 86.4391908488475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28381514)-sin(1.28380157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283058167259796-0.283071182257973)×R²
    abs(2.76634260-2.76629467)×1.30149981765748e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.30149981765748e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.30149981765748e-05×40589641000000     		ar = 7472.88263474489m²