Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123232 / 25312
↖ ↑ ↗
← N 73.453473°
E158.466797°		 ← 86.98 m → N 73.453473°
E158.469544°		 →
↑
87.03 m
↓
↑
87.03 m
↓
N 73.452690°
E158.466797°		 ← 86.99 m →
7 570 m²		 N 73.452690°
E158.469544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940189361572266 y=0.193119049072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940189361572266 × 217)
    floor (0.940189361572266 × 131072)
    floor (123232.5)     		tx = 123232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193119049072266 × 217)
    floor (0.193119049072266 × 131072)
    floor (25312.5)     		ty = 25312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123232 / 25312 ti = "17/123232/25312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123232/25312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123232 ÷ 217
    123232 ÷ 131072     		x = 0.940185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25312 ÷ 217
    25312 ÷ 131072     		y = 0.193115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940185546875 × 2 - 1) × π
    0.88037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.76576736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193115234375 × 2 - 1) × π
    0.61376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92821385031714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76576736} λ = 2.76576736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92821385031714))-π/2
    2×atan(6.87721552841592)-π/2
    2×1.42640063676116-π/2
    2.85280127352233-1.57079632675     		φ = 1.28200495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76576736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.466797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28200495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.453473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123232 KachelY 25312 2.76576736 1.28200495 158.466797 73.453473
    Oben rechts KachelX + 1 123233 KachelY 25312 2.76581530 1.28200495 158.469544 73.453473
    Unten links KachelX 123232 KachelY + 1 25313 2.76576736 1.28199129 158.466797 73.452690
    Unten rechts KachelX + 1 123233 KachelY + 1 25313 2.76581530 1.28199129 158.469544 73.452690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28200495-1.28199129) × R
    1.36600000000264e-05 × 6371000     		dl = 87.0278600001684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28200495-1.28199129) × R
    1.36600000000264e-05 × 6371000     		dr = 87.0278600001684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76576736-2.76581530) × cos(1.28200495) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.284793860747511 × 6371000     		do = 86.9833756662086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76576736-2.76581530) × cos(1.28199129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.28480695504373 × 6371000     		du = 86.987375001321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28200495)-sin(1.28199129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284793860747511-0.28480695504373)×R²
    abs(2.76581530-2.76576736)×1.30942962189295e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.30942962189295e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.30942962189295e-05×40589641000000     		ar = 7570.15106679546m²